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\author{Henning Schories und Philipp Spiekermann}
\title{Mottstreuung von Elektronen\\
		Vers. 2}
\date{07.11.2005}
\newcommand{\grad}{^{\circ}}
\newcommand{\de}{\mathrm{d}}
\newcommand{\frspr}{\textit}
\newcommand{\fig}[4]{\begin{figure}[htbp]\begin{center}\includegraphics[width=#4]{#1}\end{center}\caption{#3}\label{#2}\end{figure}}
\newcommand{\taba}[1]{\begin{table}[htb]\begin{center}\begin{tabular}{#1}}
\newcommand{\tabe}[2]{\end{tabular}\end{center}\caption{#2}\label{#1}\end{table}}

\begin{document}

\maketitle

In diesem Versuch wird versucht die Parit"atsverletzung der schwachen Wechselwirkung nachzuweisen.
Daf"ur lassen wir Elektronen aus einem $\beta^{-}$-Zerfall an verschiedenen Folien streuen und messen die asymmetrische Winkelverteilung r"uckgestreuter Elektronen.

\section{Theoretische Grundlagen}

\subsection{Parit"atsverletzung}

Eine Raumspiegelung wird durch den Parit"atsoperator dargestellt.
Der Parit"atsoperator $\hat P$ angewendet auf ein System oder Vektor spiegelt die Raumkoordinaten des Systems, d.h. f"uhrt $\vec x$ in $-\vec x$ "uber.
Man kann nun anhand der Eigenwerte des Parit"atsoperator, 1 und -1, folgende Unterscheidungen treffen:
\begin {itemize}
\item \emph{Axialvektoren} verursachen den Eigenwert 1, verhalten sich also invariant unter Raumspiegelung (z.B. Spin, Drehimpuls).

\item \emph{Polarvektoren} verursachen den Eigenwert -1, "andern also mit der Raumspiegelung ihr Vorzeichen (z.B. Impuls, Ortsvektor).
\end {itemize}
gleiches gilt f"ur Skalare:
\begin {itemize}
\item \emph{Skalare} sind invariant unter Raumspiegelung

\item \emph{Pseudoskalare} "andern ihr Vorzeichen unter Raumspiegelung
\end {itemize}
Allerdings k"onnen wir in einem Experiment nicht direkt einen Vektor messen sondern nur dessen Betragsquadrat.
Somit k"onnen wir nicht die Parit"at eines Vektors direkt im Experiment bestimmen: Die Parit"at ergibt im Betragsquadrat immer +1.
Skalare jedoch k"onnen direkt gemessen werden. 
Um nun ein unterschiedliches Verhalten unter Raumspiegelung feststellen zu k"onnen, ben"otigen wir einen Pseudoskalar.
Hier bietet sich die Helizit"at an.

\subsection{Helizit"at}
Die Helizit"at ist eine Pseudoskalar, welcher bildlich den \emph{Schraubsinn} eines Teilchen angibt:
$$
h = \frac{\vec \sigma \cdot \vec p}{\vert \vec \sigma\vert \cdot \vert \vec p\vert} \; .
$$
Da bei Elektronen zum Beispiel der Spin in Bezug auf die Impulsrichtung nur den Wert $\pm$1/2 annehmen kann, 
sind f"ur Elektronen nur zwei Helizit"aten m"oglich:
Sind Spin und Impuls antiparallel zueinander, $h$ somit negativ, spricht man von Linkspolarisation. 
Wenn Spin und Impuls parallel sind liegt Rechtspolarisation mit positivem $h$ vor. 
Treten diese zwei Polarisationszust"ande gleichm"assig verteilt auf, so kann keine "Anderung unter Raumspiegelung beobachtet werden.\\
Eine Parit"atsverletzung l"age nun vor, wenn ein Polarisationszustand bevorzugt wird: Dann ist keine Invarianz unter Raumspiegelung gegeben.

\subsection {Polarisation}
Sind $N_{+}$ und $N_{-}$ die Anzahl der Elektronen mit positiver bzw. negativer Helizit"at,
so ist die longitudinale Polarisation eines Elektronenstrahls definiert als:
$$
P_{l} = \frac{N_{+}-N_{-}}{N_{+}+N_{-}} \; .
$$
 
Die beim $\beta^{-}$ Zerfall wirkende schwache Wechselwirkung verletzt nun die Parit"at maximal, 
so da"s nur rechtspolarisierte Antineutrinos emittiert werden.\\
Die ebenfalls emittierten Elektronen ($n \to p + e^{-} + \bar \nu _{e}$) sind dann mit $P_{0} = -1$ polarisiert, 
wobei f"ur die longitudinale Polarisation $P_{l}$ noch ein Korrekturterm zu ber"ucksichtigen ist:
$$
P_{l} = P_{0} \frac{v}{c} \; ,
$$
hierbei ist $c$ die Lichtgeschwindigkeit. 

Um nun die Polarisationsrichtung der Elektronen festzustellen bedienen wir uns der Mott-Streuung, 
bei welcher die Elektronen je nach transversalem Polarisationszustand unterschiedlich abgelenkt werden.
Vorher muss also die longitudinale Polarisation in eine Longitudinale gedreht werden, was mit einem Kupferreflektor welcher unter $45\grad$ 
im Elektronenstrahl angebracht ist erreicht wird:
Die Elektronen geraten in das Coulombfeld der Kupferatome und "andern ihre Flugrichtung um $ \Phi = 90\grad$, 
wobei im nichtrelativistischen Fall der Spin sich nicht mitdreht, weswegen dann transversale Polarisation vorliegt.
Relativistisch dreht sich der Spin zum Teil mit, der Winkel zwischen Impuls und Spin betr"agt dann $\alpha = \Phi / \gamma$; 
$\gamma$ ist hierbei der Lorentzfaktor.
Somit gilt:
$$
P_{t} = P_{l} \sin (\alpha) = P_{0} \frac {v}{c} \sin (\alpha)
$$

\subsection {Mott-Streuung}
Gem"ass der Rutherfordschen Streuformel betr"agt der differentielle Wirkungsquerschnitt f"ur die Streuung von spinfreien Elektronen 
an einem Material mit Kernladungszahl $Z$:
$$
\frac {\de \sigma}{\de \Omega} (\Theta) \propto \frac{Z^{2}}{\sin^{4}(\Theta/2)} \; ,
$$
wobei $\Theta$ der Streuwinkel ist. \\
Unter Ber"ucksichtigung des Elektronenspin gibt es eine Spin-Bahn-Wechselwirkung, 
welche je nach Spinausrichtung $\vec \sigma$ in Bezug auf den Bahndrehimpuls $\vec L$,
bzw. Helizit"at bei unver"anderter Impulsrichtung, unterschiedliche Ablenkungen der Elektronen f"ur das gleiche $\Theta$ zur Folge hat.
Ist $\vec L \cdot \vec \sigma$ positiv bzw. negativ wird das Elektron dadurch mehr abgesto"sen bzw. angezogen, 
was einen unterschiedlichen Streuwinkel zur Folge hat.\\
Bei einem polarisiertem Elektronenstrahl sind somit die R"uckstreuraten nicht mehr symmetrisch um die Auftreffachse, 
sondern es existiert eine ungleiche Winkelverteilung zwischen in und gegen die Spinrichtung zeigende H"alften, ``Links`` und ``Rechts``.
Diese Asymmetrie wird durch die Asymmetriefunktion $S(E,\Theta,Z)$ beschrieben, $E$ ist die Energie der gestreuten Elektronen.
Der erg"anzte Wirkungsquerschnitt lautet nun:
$$
\frac {\de \sigma}{\de \Omega} (\Theta , \Phi) = \frac {\de \sigma}{\de \Omega} (\Theta) \: (1-P_{t} \cdot S(E,Z,\Theta) \cos \phi)
$$
$\phi$ ist der Winkel zwischen $\vec \sigma$ und $\vec L$, in Richtung $\vec \sigma \times \vec p$ ist $\phi = 0 \grad$.
F"ur $\Theta = 135 \grad$ weist $S$ ein Maximum auf, weswegen unter diesem Winkel gr"o"ster Asymmetrie die Detektoren aufgebaut sind.
F"ur hohe Ordnungszahlen $Z$ wird $S$ sehr gro"s, f"ur niedrige (z.B. Aluminium $Z = 13$) wird die Asymmetriefunktion klein.
Diese Wirkungsquerschnitte verlieren ihre Aussagekraft, wenn die Probe an der gestreut wird zu dick ist, 
da dann zunehmend Mehrfachhstreuung auftritt, welche eine symmetrische Verteilung zur Folge hat.

\subsection {$L/R$ - Asymmetrie}
Wird wie oben dargelegt ein Links- Rechtsverh"altnis $L/R$ mithilfe zweier unter $180\grad$ gegen"uberstehenden Detektoren aufgezeichnet,
 so kann das Verh"altnis mit dem Asymmetriefaktor $\delta = P_{t}S$ wie folgt audgedr"uckt werden:
\begin {eqnarray}
\frac {L}{R} & = & \frac {\frac {\de \sigma}{\de \Omega} (\Theta) \: (1-P_{t} \cdot S(E,Z,\Theta) \cos \phi)}{\frac {\de \sigma}{\de \Omega} 
(\Theta) \: (1-P_{t} \cdot S(E,Z,\Theta) \cos (\phi+\pi))} \; \alpha \nonumber \\
& =& \frac{1+ \delta\cos \phi}{1-\delta\cos \phi} \; \alpha 
\end {eqnarray}
In dem Faktor $\alpha$ k"onnen die unterschiedlichen Sensitivit"aten der Detektoren sowie die apparative Asymmetrie zusammengefasst werden.
Dieses $\alpha$ kann durch Messung der symmetrischen Streuung an einer 2\,mm dicken Aluminiumplatte gemessen werden.
Die Streuung ist in diesem Fall gr"o"stenteils symmetrisch, da die geringe Kernladungszahl des Aluminium einen niedrigen 
Asymmetriefunktionswert $S(E,Z,\Theta)$ zur Folge hat und die Dicke von 2\,mm eine gro"se symmetrische Mehrfachstreuung verursacht. 
Eine hierbei gemessene Asymmetrie $\alpha$ ist also auf die Apparatur und nicht auf die Polarisation der Elektronen zur"uckzuf"uhren.\\
Zur Bestimmung des Asymmetriefaktors $\delta$ sind nun zwei Vorgehensweisen denkbar: \\
Entweder die Aufnahme des $L/R$-Verh"altnis in Abh"angigkeit von $\phi$ und einem Kurvenfit nach Gleichung (1), aus dem $\delta$ abzulesen ist, \\
oder die zweifache Aufnahme des $L/R$-Verh"altnis unter entgegengesetzten Winkel (bzw. vertauschten Detektoren) und der Division beider Messwerte:
\begin {equation} \label {del}
\frac {(L/R)_{\pi}}{(L/R)_{0}} = \frac{ \alpha \frac {1-\delta}{1+\delta}}{\alpha \frac{1+\delta}{1-\delta}} = 
\biggl ( \frac {1-\delta}{1+\delta}\biggr )^{2} \quad \to \quad 
\delta = \frac {1-\sqrt{\frac{(L/R)_{\pi}}{(L/R)_{0}}}}{1+\sqrt{\frac{(L/R)_{\pi}}{(L/R)_{0}}}}
\end {equation}
Da alle Targets eine gewisse Dicke $d$ haben m"ussen, damit "uberhaupt gestreut wird, liegt bei allen Targets auch eine 
durch symmetrisches Streuverhalten $\delta$ verf"alschende Mehrfachstreuung vor.
Die reziproke Streuasymmetrie $1/\delta$ h"angt hierbei linear von $d$ ab.
Mit der Annahme, da"s Mehrfachstreuung mit $d^{2}$ und Einfachstreuung mit $d$ zunimmt, folgt:
$$
\frac 1 \delta = \frac 1 \delta + \alpha d
$$
Um die Mehrfachstreuung nun herausrechnen zu k"onnen wird $\delta$ f"ur mehrere Dicken $d$ aufgenommen und auf $d = 0\,$mm interpoliert.


\section {Versuchsaufbau}
\subsection {Apparatur}

\fig {Versuchsaufbau} {wer} {Versuchsaufbau} {8cm}

Nach dem die Elektronen die Quelle verlassen haben werden sie gem"a"s Abbildung (1) von einem Reflektor aus Kupfer in den unteren Teil der Apparatur gelenkt, 
wo sie auf das Target auftreffen und unter dem Winkel $\Theta$ gestreut werden.
Der obere Aufbau ist samt Quelle und Reflektor um die Impulsrichtung der umgelenkten Elektronen drehbar, was eine beliebige Einstellung von $\phi$ m"oglich macht.
Zwei Szintillationsdetektoren sind in einem Winkel von $\Theta = 135 \grad$ und um $\phi = 180\grad$ gegeneinander versetzt angeordnet.
Wenn $\phi$ auf 0$\grad$ eingestellt ist, befindet sich der rechte Detektor bei $\phi = 90\grad$, w"ahrend der Linke bei $\phi = 270\grad$ ist.\\
Damit m"oglichst wenig St"o"se der $\beta$-Teilchen mit Luftmolek"ulen stattfinden kann die Apparatur durch eine Pumpe grob evakuiert werden.
Das Target ist durch Abschrauben des unteren Bereichs austauschbar.
Das Geh"ause aus Plexiglas mit im oberen Bereich ummantelten Blei sollte den Raum vor der Strahlung abschirmen und die im Plexiglas entstandene 
Bremsstrahlung einigerma"sen absorbieren.

\subsection{Strontium 90}
Das in diesem Versuch verwendete $^{90}Sr$ ist ein reiner $\beta$-Strahler und zerf"allt mit einer Halbwertszeit von 28,7 Jahren zu 100\% in 
den Grundzustand von $^{90}Y$. Die dabei ausgesendeten Elektronen weisen dabei ein kontinuierliches Energie-Spektrum von maximal 546\,keV und 
durchschnittlich 195\,keV auf. $^{90}Y$ zerf"allt selber wiederum mit einer Halbwertszeit von 64 Stunden zu 99,99\% in den Grundzustand des 
stabilen $^{90}Zr$, wobei die $\beta$-Teilchen eine maximale Energie von 2280\,keV und eine durchschnittliche Energie von 933\,keV aufweisen.

Die Signale der Detektoren werden erst einmal verst"arkt, dann jeweils durch einen Single-Channel-Analyser geschickt, welche den interessierenden 
Energiebereich des $^{90}Sr$-Zerfalls durchlassen, und dann jeweils in einem BCD-Z"ahler registriert, welche von einem gemeinsamen Zeitgeber gesteuert werden.

\section {Durchf"uhrung und Auswertung}
\subsection {Untergrundmessung}
Zu Beginn messen wir den Untergrund in Abh"angigkeit von $\phi$ (Abbildung \ref {unt}).
Das Target ist eine Hostaphan-Folie, welche auch als Tr"agerfolie f"ur die d"unneren Goldfolien verwendet wird.
In dieser Messung wird nur der Anteil der Elektronen bestimmt, welche durch Streuung an der Hostaphanfolie oder der Apparatur bzw. 
durch nicht ausreichende Abschirmung im Detektor ein Signal ausl"osen.\\
Die Z"ahlraten $N$ des Linken bzw. Rechten Detektors sind mit $L$ bzw. $R$ bezeichnet.
Die Me"szeit betrug f"ur jeden Winkel 400\,s, die Fehler der Z"ahlraten des linken und rechten Detektors, $\Delta L$ und $\Delta R$,  
wurden als Statistische zu $\sqrt{L}$ bzw. $\sqrt{R}$ berechnet.\\
Da aufgrund der Aufw"armzeit eine zeitliche "Anderung der Ansprechwahrscheinlichkeit der Detektoren denkbar ist, 
wurde f"ur die beiden im sp"ateren Versuchsteil oft verwendeten Winkel $\phi = 0\grad$ und $\phi = 180\grad$ 
eine weitere Untergrundmessung am Ende des Versuchs durchgef"uhrt und beide Werte arithmetisch gemittelt: 
$N_{0\grad,180\grad} = \frac{N_{1}+N_{2}}{2} \: \pm \: \frac 1 2 \sqrt{(\Delta N_{1})^{2}+(\Delta N_{2})^{2}} $

\begin {table} [h] 
\centering
\begin{tabular}{rcc}
    Winkel [$\grad$]&      $L\; \pm\; \Delta L$ &    $R \; \pm\; \Delta R$ \\
\hline
         0 &     $3006,5 \pm     38,77 $& $    2823,5 \pm      37,57 $\\
        30 &     $  3350 \pm      57,88 $&  $     2862 \pm      53,50 $\\
        60 &     $  3975 \pm      63,05 $&   $    2838 \pm      53,27 $\\
        90 &     $  4405 \pm      66,37 $&   $    2926 \pm      54,09 $\\
       120 &     $  3883 \pm      62,31 $&   $    2888 \pm      53,74 $\\
       150 &     $  3182 \pm      56,41 $&   $    2801 \pm      52,92 $\\
       180 &     $  3072\pm      39,19 $&    $ 2949,5 \pm      38,40 $\\
       210 &     $  2972 \pm      54,52 $&   $    3273 \pm      57,21 $\\
       240 &     $  3028 \pm      55,03 $&   $    4096 \pm      64,00 $\\
       270 &     $  3134 \pm      55,98 $&   $    4310 \pm      65,65 $\\
       300 &     $  3088 \pm      55,57 $&    $   3717 \pm      60,97 $\\
       330 &     $  2943 \pm      54,25 $&    $   3037 \pm      55,11 $\\
\hline
1.Messung 0 &    $   3017 \pm      54,93 $&   $    2821 \pm      53,11 $\\
        " 180 &  $     3131 \pm      55,96$ & $      2932 \pm      54,15$ \\
2.Messung 0 &    $   2996 \pm      54,74 $&   $    2826 \pm     53,16 $\\
     "   180 &   $    3013 \pm      54,89$ &  $     2967 \pm      54,47 $\\
\end{tabular}  \caption {Untergrundmessung}
\end {table}  

\fig {Untergrund} {unt} {Untergrundmessung} {11cm}

Auffallend ist eine stark erh"ohte Z"ahlrate bei $\phi = 90 \grad$ f"ur den linken und bei $\phi = 270\grad$ f"ur den rechten Detektor.
In diesen Positionen standen sich radioaktive Quelle und Szintilationsdetektor genau gegen"uber, weswegen naheliegt, 
da"s hier die $\beta$-Strahlung oder die im Plexiglas entstandene Bremsstrahlung direkt in den Detektor gelangte und Ereignisse ausl"oste.

\subsection {Apparative Asymmetrie} \label {asym}
Wie im Theorieteil beschrieben wird nun die apparative Asymmetrie mit Hilfe eines 2\,mm dicken Aluminium Targets anstelle der Hostaphanfolie gemessen. 
Die Me"szeit betrug f"ur jeden Winkel 100\,s. $L_{korr}$ und $R_{korr}$ bezeichnen dabei die um den Untergrund verringerte Z"ahlrate des linken und rechten Detektors.
Dabei wurde der Untergrund f"ur 400\,s durch 4 geteilt um einen Untergrund f"ur 100\,s zu erhalten. 
Der Fehler der Z"ahlraten $N$ wird wieder als $\Delta N = \sqrt{N}$ angenommen.
Die apparative Asymmetrie berechnet sich dann zu:
$$
\alpha = \frac{ L_{korr}}{R_{korr}} \; \pm \; \sqrt{\biggl(\frac{\Delta L_{korr}}{R_{korr}}\biggr)^{2}+\biggl(\frac{L_{korr}}{R_{korr}^{2}}\Delta R_{korr}\biggr)^{2}}
$$

\begin {table} [h] 
\centering
\begin{tabular}{rccccc}
   $\phi$ [$\grad$]&      $L\; \pm\; \Delta L$ &    $R \; \pm\; \Delta R$ & $L_{korr.} \; \pm\; \Delta L_{korr.}$ &$ R_{korr.} \; \pm\; \Delta R_{korr.}$ &     $\alpha \; \pm\; \Delta \alpha$ \\
\hline
         0 &       $5919 \pm      76,94$ &$       5898 \pm     76,80 $&  $   5167,4 \pm       77,5 $& $    5192,1 \pm       77,4 $&$ 0,995 \pm 0,021 $\\
        30 &       $5929 \pm      77,00$ &  $     6035 \pm      77,69 $& $    5091,5 \pm       78,3 $&  $   5319,5 \pm       78,8 $&$ 0,957 \pm 0,020 $\\
        60 &       $6167 \pm      78,53$ &   $    6104 \pm      78,13 $& $    5173,3 \pm       80,1 $&  $   5394,5 \pm       79,3 $&$   0,959 \pm 0,020$ \\
        90 &       $6128 \pm      78,28$ &  $     6015 \pm      77,56 $& $    5026,8 \pm       80,0 $&  $   5283,5 \pm       78,7 $&$ 0,951 \pm 0,021 $\\
       120 &       $6054 \pm      77,81$ &  $     5924 \pm      76,97 $& $    5083,3 \pm       79,4$ &  $   5202,0 \pm       78,1 $&$ 0,977 \pm 0,021 $\\
       150 &       $5998 \pm      77,45$ &  $     6078 \pm      77,96 $& $    5202,5 \pm       78,7$ &  $   5377,8 \pm       79,1 $&$ 0,967 \pm 0,020 $\\
       180 &       $5824 \pm      76,32$ &  $     6008 \pm      77,51 $& $    5056,0 \pm       76,9$ &  $   5270,6 \pm       78,1 $&$ 0,959 \pm 0,020 $\\
       210 &       $5904 \pm      76,84$ &  $     5936 \pm      77,05 $& $    5161,0 \pm       78,0$ &  $   5117,8 \pm       78,4 $&$ 1,008 \pm 0,022 $\\
       240 &       $5865 \pm      76,58 $&  $     6362 \pm      79,76 $& $    5108,0 \pm       77,8$ &  $   5338,0 \pm       81,4 $&$  0,957 \pm 0,020 $\\
       270 &       $5715 \pm      75,60 $&  $     6374 \pm      79,84 $& $    4931,5 \pm       76,9$ &  $   5296,5 \pm       81,5 $&$ 0,931 \pm 0,0204$ \\
       300 &       $5823 \pm      76,31$ &  $     6292 \pm      79,32 $& $    5051,0 \pm      77,6 $&   $  5362,8 \pm       80,8 $& $0,942 \pm 0,020 $\\
       330 &       $5827 \pm      76,33$ &  $     6028 \pm      77,64 $& $    5091,3 \pm       77,5$ &  $   5268,8 \pm       78,9 $&$ 0,966 \pm  0,020$ \\
\end{tabular}  \caption {Apparative Asymmetrie}
\end {table}  

\fig {alpha} {r} {Apparative Asymmetrie} {11cm}


Bes"a"se die Apparatur keine Asymmetrie, w"are $\alpha = 1$ unter allen Winkel zu erwarten.
Die Abweichung davon zeigt, da"s es sinnvol ist diese Messung durchzuf"uhren.

\subsection {Mottstreuung an d"unner Folie}
Nun wurde das Aluminium Target durch eine 1,6$\,\mu$m dicke Goldfolie ersetzt und die Z"ahlraten f"ur jeweils 100\,s in Abh"angigkeit von $\phi$ gemessen.
$\Delta L$ wurde wieder als $\sqrt{L}$ berechnet und $L_{korr}$ bezeichnet wieder die wie in (\ref{asym}) um den Untergrund bereinigte Z"ahlrate.
$(L/R)_{korr}$ ist das um die apparative Asymmetrie $\alpha$ korrigierte Rechts- Links-Verh"altnis:
$$
(L/R)_{korr} = \frac {L_{korr}}{R_{korr}} \frac 1 \alpha \; \pm \; \sqrt{\biggl( \frac{\Delta L_{korr}}{R_{korr}\alpha}\biggr)^{2}+ 
\biggl( \frac{L_{korr}}{R_{korr} \alpha}\Delta R_{korr}\biggr)^{2}+ \biggl(\frac{L_{korr}}{R_{korr}}\frac 1 {\alpha^{2}} \Delta \alpha \biggr)^{2}}
$$

\begin {table} [h] 
\centering
\begin{tabular}{rccccc}
 $\phi$ [$\grad$]&      $L\; \pm\; \Delta L$ &    $R \; \pm\; \Delta R$ & $L_{korr.} \; \pm\; \Delta L_{korr.}$ &$ R_{korr.} \; \pm\; \Delta R_{korr.}$ & $(L/R)_{korr}$ \\
\hline
         0 &       2407 $\pm$      49,06 &       2157 $\pm$      46,44 &     1655,4 $\pm$       50,0 &     1451,1 $\pm$       47,4 &      1,146 $\pm$      0,056 \\
        30 &       2577 $\pm$      50,76 &       2134 $\pm$      46,20 &     1739,5 $\pm$       52,8 &     1418,5 $\pm$       48,1 &      1,281 $\pm$      0,064 \\
        60 &       2707 $\pm$      52,03 &       2322 $\pm$      48,19 &     1713,3 $\pm$       54,4 &     1612,5 $\pm$       50,0 &      1,108 $\pm$      0,055 \\
        90 &       2871 $\pm$      53,58 &       2400$\pm$      48,99 &     1769,8 $\pm$       56,1 &     1668,5 $\pm$       50,8 &      1,115 $\pm$      0,055 \\
       120 &       2561 $\pm$      50,61 &       2367 $\pm$      48,65 &     1590,3 $\pm$       52,9 &     1645,0 $\pm$       50,5 &      0,989 $\pm$      0,050 \\
       150 &       2293 $\pm$      47,89 &       2386 $\pm$      48,85 &     1497,5 $\pm$       49,9 &     1685,8 $\pm$       50,6 &      0,918 $\pm$      0,046 \\
       180 &       2338 $\pm$      48,35 &       2357 $\pm$      48,55 &     1570,0 $\pm$      49,3 &     1619,6 $\pm$       49,5 &      1,011 $\pm$     0,049 \\
       210 &       2276 $\pm$      47,71 &       2490 $\pm$      49,90 &     1533,0 $\pm$       49,6 &     1671,8 $\pm$       51,9 &      0,909 $\pm$      0,045 \\
       240 &       2422 $\pm$      49,21 &       2675 $\pm$      51,72 &     1665,0 $\pm$       51,1 &     1651,0 $\pm$       54,1 &      1,054 $\pm$     0,052 \\
       270 &       2510 $\pm$      50,10 &       2660 $\pm$     51,58 &     1726,5 $\pm$       52,0 &     1582,5 $\pm$       54,1 &      1,172 $\pm$     0,059 \\
       300 &       2492 $\pm$      49,92 &       2552 $\pm$      50,52 &     1720,0 $\pm$      51,8 &     1622,8 $\pm$      52,8 &      1,125 $\pm$      0,055 \\
       330 &       2495 $\pm$      49,95 &       2146 $\pm$     46,32 &     1759,3 $\pm$       51,8 &     1386,8 $\pm$      48,3 &      1,313 $\pm$     0,066 \\

\end{tabular}   \caption {Mottstreuung an d"unner Folie}
\end {table}  
\fig {Mott1} {mo1} {Mottstreuung an d"unner Folie} {11cm}

Wie im Theorieteil beschrieben k"onnen wir durch einen Fit in Abbildung (\ref {mo1}) nach Gleichung (1) $\delta$ bestimmen.
Die Messwerte lassen sich aber besser durch eine leicht um den Faktor $a$ abge"anderte Funktion beschreiben (Abbildung \ref{mo2}), 
welche wir zur Bestimmung des $\delta$ herangezogen haben:
$$
\frac {L}{R} = \frac{1+ \delta\cos \phi}{1-\delta\cos \phi} \cdot a
$$
Da die Werte bereits um die apparative Asymmetrie bereinigt wurden, erscheint in dieser Gleichung im Gegensatz zur Gleichung (1) 
hier nicht mehr das $\alpha$.
Das Ergebnis ist:
$$\delta = 0,06731 \; \pm \; 0,00764 $$

\fig {Mott} {mo2} {Mottstreuung an d"unner Folie} {11cm}

\subsection{Mottasymmetrie}
Zuletzt wurde die Abh"angigkeit des Asymmetriefaktors $\delta$ von der Streufoliendicke untersucht, um, wie im Theorieteil beschrieben, einen 
bereinigten Asymmetriefaktor $\delta_{0}$ zu erhalten.\\
Hierf"ur wurden Goldfolien verwendet, welche aufgrund der hohen Kernladungszahl eine gute Asymmetrie verursachen ($S(Z)$).
Die Messwerte wurden wieder auf dieselbe Weise wie im vorhergenden Fall um Untergrund und apparativer Asymmetrie bereinigt.
$\delta$ wurde nach Gleichung (\ref{del}) berechnet, $1/\delta$ ergibt sich zu:
$$
\frac 1 \delta = \frac {1+\sqrt{\frac{(L/R)_{\pi}}{(L/R)_{0}}}}{1-\sqrt{\frac{(L/R)_{\pi}}{(L/R)_{0}}}}\; \pm \; 
\sqrt{\Biggl( \frac {\sqrt{\frac{(L/R)_{\pi}}{(L/R)_{0}}}\; \Delta (L/R)_{\pi}}{(L/R)_{\pi} \Bigl(\sqrt{\frac{(L/R)_{\pi}}{(L/R)_{0}}}-1 \Bigr)^{2}}\Biggr)^{2}+
\Biggl(\frac{\sqrt{\frac{(L/R)_{\pi}}{(L/R)_{0}}} \; \Delta (L/R)_{0}}{(L/R)_{0} \Bigl(\sqrt{\frac{(L/R)_{\pi}}{(L/R)_{0}}}-1 \Bigr)^{2}}\Biggr)^{2}}
$$

\begin {table} [h] 
\centering
\begin{tabular}{rrcccc}
 d [$\mu$ m] & $\phi$ [$\grad$]&      $L\; \pm\; \Delta L$ &    $R \; \pm\; \Delta R$ & $L_{korr.} \; \pm\; \Delta L_{korr.}$ &$ R_{korr.} \; \pm\; \Delta R_{korr.}$ \\
\hline
       0,5 &          0 &        943 $\pm$      30,71 &        868 $\pm$      29,46 &      191,4 $\pm$       32,2 &      162,1 $\pm$       30,9 \\
       0,5 &        180 &        791 $\pm$      28,12 &        848 $\pm$      29,12 &       23,0 $\pm$       29,8 &      110,6 $\pm$       30,7 \\
       3,8 &          0 &       5942 $\pm$      77,08 &       5474 $\pm$      73,99 &     5190,4 $\pm$       77,7 &     4768,1 $\pm$       74,6 \\
       3,8 &        180 &       5686 $\pm$      75,41 &       6001 $\pm$      77,47 &     4918,0 $\pm$       76,0 &     5263,6 $\pm$       78,1 \\
       4,7 &          0 &       7679 $\pm$      87,63 &       7117 $\pm$      84,36 &     6927,4 $\pm$       88,2 &     6411,1 $\pm$       84,9 \\
       4,7 &        180 &       7478 $\pm$      86,48 &       7891 $\pm$      88,83 &     6710,0 $\pm$       87,0 &     7153,6 $\pm$       89,3 \\
         6 &          0 &       4742 $\pm$      68,86 &       4732 $\pm$      68,79 &     3990,4 $\pm$       69,5 &     4026,1 $\pm$       69,4 \\
         6 &        180 &       4563 $\pm$      67,55 &       5182 $\pm$      71,99 &     3795,0 $\pm$       68,3 &     4444,6 $\pm$       72,6 \\
         8 &          0 &      46740 $\pm$     216,19 &      48294 $\pm$     219,76 &    43733,5 $\pm$      219,6 &    45470,5 $\pm$      222,9 \\
         8 &        180 &      44539 $\pm$     211,04 &      50855 $\pm$     225,51 &    41467,0 $\pm$      214,7 &    47905,5 $\pm$      228,8 \\
        10 &          0 &      78474 $\pm$     280,13 &      78812 $\pm$     280,73 &    75467,5 $\pm$      282,8 &    75988,5 $\pm$      283,2 \\
        10 &        180 &      75637 $\pm$     275,02 &      82985 $\pm$     288,07 &    72565,0 $\pm$      277,8 &    80035,5 $\pm$      290,6 \\
       1,6 &          0 &       2407 $\pm$      49,06 &       2157 $\pm$      46,44 &     1655,4 $\pm$       50,0 &     1451,1 $\pm$       47,4 \\
       1,6 &        180 &       2338 $\pm$      48,35 &       2357 $\pm$      48,55 &     1570,0 $\pm$       49,3 &     1619,6 $\pm$       49,5 \\
\end{tabular} \caption {reziproke Mottasymmetrie 1/2}
\end {table}
\begin {table}
\centering
\begin{tabular}{rrcc}
d [$\mu$ m] & $\phi$ [$\grad$]&   $(L/R)_{korr} \; \pm\; \Delta (L/R)_{korr}$ &  $1/ \delta \; \pm\; \Delta (1/\delta)$ \\
\hline
       0,5 &          0             &      1,186 $\pm$      0,303 &       2,49 $\pm$       1,76 \\
       0,5 &        180             &      0,217 $\pm$      0,287 &                        \\
       3,8 &          0             &      1,094 $\pm$      0,033 &      34,50 $\pm$      12,70 \\
       3,8 &        180             &      0,974 $\pm$      0,029 &                        \\
       4,7 &          0             &      1,086 $\pm$      0,030 &      38,22 $\pm$      14,42 \\
       4,7 &        180             &      0,978 $\pm$      0,027 &                        \\
         6 &          0             &      0,996 $\pm$      0,032 &      35,63 $\pm$      14,50 \\
         6 &        180             &      0,890 $\pm$      0,029 &                        \\
         8 &          0             &      0,966 $\pm$      0,022 &      58,32 $\pm$      26,85 \\
         8 &        180 &                  0,902 $\pm$      0,020 &                        \\
        10 &          0             &      0,998 $\pm$      0,022 &      73,65 $\pm$      41,88 \\
        10 &        180             &      0,945 $\pm$      0,021 &                        \\
       1,6 &          0             &      1,146 $\pm$      0,056 &      31,75 $\pm$      17,44 \\
       1,6 &        180             &      1,011 $\pm$     0,049 &                        \\
\end{tabular}  \caption {reziproke Mottasymmetrie 2/2}
\end {table}

\fig {reziprokesdelta,korrigiert,ohneFehler} {rez} {reziproke Mottasymmetrie} {11cm}
Hierbei wurden die Werten f"ur die 1,6\,$\mu$m-dicke Goldfolie nicht nocheinmal aufgenommen, sondern die Werte aus dem 
Versuchsteil 3.3, \emph{Mottstreuung an d"unner Folie}, verwendet.\\
Aus dem Geradenfit von Abbildung \ref {rez} folgt $\frac 1 {\delta_{0}} = 8,656 \; \pm \; 6,154$, wodurch mit Gau"sscher Fehlerfortpflanzung folgt:
$$
\delta_{0} = 0,11552 \; \pm \; 0,082
$$
Mit $\delta = P_{0} \frac v c S \sin(\alpha)$ (siehe 1.3 und 1.4) und aus der f"ur den Versuch beim Assistenten ausgeliehene 
Diplomarbeit von Meurin entnommenen Angabe, $\frac v c S \sin(\alpha) = 0,25$, ergibt sich die Polarisation der Elektronen zu:
$$
P_{0} = 4 \; \delta_{0} \; \pm \; 4 \; \Delta \delta_{0} = 0,462 \; \pm \; 0,328
$$
Eine Polarisation ist erkennbar und damit kann von einer Parit"atsverletzung die Rede sein, 
jedoch weicht die gemessene Polarisation stark von der theoretisch erwarteten, $P_{0} = 1$, ab.
Der Diplomarbeit von Meurin kann antnommen werden, da"s mit der verwendeten Apparatur durch Depolarisation der Elektronen 
v.a. am Reflektor und Reflektion an der Ummantelung der Quelle, eine maximale Polarisation von $P_{0}= 0,6$ messbar ist.\\
Eine Polarisation ist also erkennbar und der theoretisch erwartete Wert liegt innerhalb der Fehlergrenzen,
jedoch ist der Fehler mit ca. 70\% des eigentlichen Wertes recht gro"s und mindert die Aussagekraft unseres Ergebnisses. 
Die Gr"o"se des Fehlers resultiert v.a. aus dem Geradenfit, welcher teilweise hohe Residuen aufweist, was nahelegt, 
da"s zus"atzliche Fehlerquellen ein Abweichen vom linearen Verhalten verursachen.\\
Als gr"o"ste Fehlerquellen kommt das zeitlich nicht konstante Vakuum in Betracht, wobei ab einem ausreichenden Vakuum, welches anscheinend erreicht wurde,
 eine weitere Druckabnahme kaum noch Einflu"s haben sollte.
Das temperaturabh"angige Ansprechverhalten der Detektoren ist eine weitere Fehlerquelle, welche jedoch durch eine Vorw"armzeit von 1,5 Stunden minimiert sein sollte.
Ein ungenaues Einstellen des Single-Channel-Analyser kann zum Z"ahlen nicht erw"unschter Ereignisse beitragen, was jedoch einen konstanten Untergrund zur Folge haben sollte, 
welcher in den Rechnungen ber"ucksichtigt wurde. \\
[0,5ex]

Alles in allem war dieser Versuch recht faszinierend, da es mit einem relativ klarem Aufbau gelang die Parit"atsverletzung der schwachen Wechselwirkung nachzuweisen.








\end {document}