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\author{Henning Schories und Philipp Spiekermann}
\title{$\beta$-Spektrometer}
\date{29.10.2005}
\nonfrenchspacing
\begin{document}
%\nonfrenchspacing
\maketitle
Dieser Versuch beinhaltet die Eichung eines doppeltfokussierenden $\pi \, \sqrt{2}\; \beta$-Spektrometers anhand eines $^{137}Ba$-Präparates, 
sowie die Aufnahme der Spektren von $^{22}Na$ und $^{204}Tl$ mit dem Ziele das Auflösungsvermögen der Apparatur und die Maximalenergie der 
beim $\beta$-Zerfall von $^{22}Na$ und $^{204}Tl$ ausgesandten Teilchen zu bestimmen.

\section {Theoretische Grundlagen}

\subsection {$\beta$-Zerfall}
Es kann zwischen drei Typen eines $\beta$-Zerfalls unterschieden werden: $\beta^{-}$ und $\beta^{+}$ sowie Electron Capture (EC).
\subsubsection{$\beta^{-}$-Zerfall}
Hierbei zerfällt im Kern ein Neutron unter Aussendung eines Elektrons und eines Antineutrinos in ein Proton.
\begin{displaymath}
n \to p + e^{-} + \bar \nu_{e}
\end {displaymath}
Die dabei freiwerdende Energie verteilt sich in kontinuierlichen Verhältnissen auf das Elektron und das Antineutrino, 
weswegen ein Energiespektrum des entstandenen Elektrons nicht diskret ist.
\subsubsection{$\beta^{+}$-Zerfall}
Beim $\beta^{+}$-Zerfall zerfällt ein Proton unter Aussendung eines Positrons und eines Neutrino in ein Neutron.
\begin {displaymath}
p \to n + e^{+} + \nu_{e}
\end {displaymath}
Die ebenfalls kontinuierliche Energieaufteilung sorgt für ein kontinuierliches Energiespektrum des Positrons und des Neutrinos.
\subsubsection{Electron Capture (EC)}
Beim EC wird ein Elektron der inneren Schalen, bei welchen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Kern nicht zu vernachlässigen ist, 
von einem Kernproton \emph{eingefangen} und reagiert mit ihm zu einem Neutron und einem Neutrino.
\begin{displaymath}
p + e^{-} \to n + \nu
\end {displaymath}

Die beim $\beta^{+}$-Zerfall und bei EC entstehenden Isotope sind identisch (Verringerung der Kernladungszahl um eins und Erhöhung der 
Neutronenzahl um eins). 
Meistens treten diese beiden Prozesse in Konkurrenz auf, wobei bei kleiner Massendifferenz zwischen Tochter- und 
Mutterkern nur EC möglich ist und bei höheren Massendifferenzen der $\beta^{+}$-Zerfall überwiegt.

 \subsection{Innere Konversion}
Befindet sich ein Atomkern nach einem Zerfall in einem angeregten Zustand, so kann diese erhöhte Kernpotentialenergie entweder 
durch ein $\gamma$-Quant emittiert werden oder direkt an ein Elektron der inneren Schalen abgegeben werden, welches dadurch aus dem Atom ausgeschlagen wird. 
Letzteren Fall nennt man innere Konversion, das Elektron weist hierbei nach der Energieabsorption eine sehr hohe kinetische Energie auf, 
da die Energiedifferenz zwischen zwei Kernpotentialen in aller Regel wesentlich größer ist, als die Bindungsenergie des Elektrons.\\
Im Spektrum beobachtet man dementsprechend diskrete Konversionslinien im h"oherenergetischen Bereich. 

\subsection{Auger-Effekt}
Durch die bereits beschriebenen Prozesse entstehen oft unbesetzte Zustände in niedrigen Elektronenschalen, 
welche durch Elektronen der höheren Schalen aufgefüllt werden können.\\
Die Energie, die bei solch einem Einstellen eines energiegünstigeren Zustandes frei wird, wird als charakteristisches $\gamma$-Quant ausgesendet. 
Dieses Photon wiederum kann ein Elektron der höheren Schalen aus dem Atom herauslösen.
Das so entstandene Auger-Elektron besitzt eine geringe Energie, da die Energie des 
$\gamma$-Quantes der Energiedifferenz zweier Bindungszustände entspricht und diese Energiedifferenz gleich der 
Bindungsenergie und der kinetischen Energie des Auger-Elektrons ist.
Die Energiewerte sind dabei alle diskret, weswegen wir bei Detektion von Auger-Elektronen eine diskrete Linie im niederenergetischen Bereich erwarten.

Das Energiespektrum der durch $\beta$-Zerfall entstandenen Elektronen ist also kontinuierlich mit zusätzlichen diskreten Linien, 
welche durch innere Konversionselektronen und Auger-Elektronen verursacht werden.

\subsection {Zerfall von $^{137}Cs$, $^{22}Na$ und $^{204}Tl$}
$^{137}Cs$ ist ein $\beta^{-}$-Strahler, er zerf"allt mit 94\%iger Wahrscheinlichkeit in einen angeregten Zustand von $^{137}Ba$, 
welcher 661\,keV "uber dem Grundzustand liegt.
Mit ca. 6\%iger Wahrscheinlichkeit endet der Zerfall direkt im Grundzustand.
Wir k"onnen also ein $\beta$-Spektrum mit zus"atzlichen Auger-Linien erwarten.

$^{22}Na$ gilt als ein $\beta^{+}$-Strahler, er zerf"allt mit ca. 9\%iger Wahrscheinlichkeit in einen angeregten Zustand von $^{22}Ne$, 
welcher 1,27\,MeV "uber dem Grundzustand liegt.
Mit ca. 0,1\%iger Wahrscheinlichkeit geht es direkt in den Grundzustand "uber.
Electron Capture zu $^{22}Ne$ findet durchschnittlich bei jedem zehnten Zerfall statt.
Da wir $\beta^{+}$ Teilchen detektieren wollen, sehen wir bei einem entsprechend gepolten Spektrometer 
keine Auger-Elektronen- oder Konversionselektronen-Linien.

$^{204}Tl$ gilt als ein $\beta^{-}$-Strahler (3\% Electron Capture zu $^{204}Hg$), er zerf"allt zu 100\% in den Grundzustand von $^{204}Pb$.
Wir k"onnen also ein $\beta$-Spektrum ohne zus"atzliche diskrete Linien erwarten.\\
(alle Angaben von http://atom.kaeri.re.kr)

\subsection {Fermi-Theorie des $\beta$-Zerfalls}
Fermi beschrieb den $\beta$-Zerfall  indem er eine Neutron-Proton-Umwandlung mithilfe der Störungstheorie berechnete.
Dabei wird angenommen, dass der schwere Kern keinen Rückstoß aufnimmt und somit die Energie $E_{0} = E_{\nu} + E_{\beta}$ verliert.
Ist $\vert i \rangle$ der Zustand vor  und  $\vert f \rangle$ der Zustand nach dem Zerfall, so gibt nun Fermi's goldene Regel die
 Übergangswahrscheinlichkeit W an:
\begin {displaymath}
W_{if} = \frac{2 \pi}{\hbar}\vert \langle f \vert H \vert i \rangle \vert ^{2} \rho (E_{f}) = N(p) \mathrm{d}p
\end {displaymath}
$H$ ist hierbei die den Übergang verursachende Störung, $\rho (E_{f}) = \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}E_{0}}$ 
die Dichte der möglichen Endzustände pro Energieintervall und $N(p)\textnormal{d}p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, 
dass ein Elektron mit Impuls zwischen $p$ und d$p$ beim Übergang emittiert wird.
Ferner gilt: $\mathrm{d}n = \frac{V}{2 \hbar^{3} \pi^{3}}p^{2} \mathrm{d}p$, was die Anzahl der im Volumen V möglichen Zustände ist.
Benutzt man nun die dimensionslosen Größen $\eta := \frac{p}{m_{0}c}$ und $\epsilon := \frac{W}{m_{0}c^{2}}$ mit $W$ als der 
Gesamtenergie des Elektrons, sowie den natürlichen Einheiten für Energie und Impuls ($m_{0}c^{2}$ und $m_{0}c$), so erhält man folgende Abhängigkeit:
\begin {displaymath}
N(\epsilon) \mathrm{d}\epsilon = \frac{\vert H_{fi}\vert^{2}}{B} \;\eta \epsilon (\epsilon_{0}-\epsilon)^{2} \mathrm {d} \epsilon
\end {displaymath}
Mit $B = const. = (2 \pi^{3} \hbar^{7})/(m_{0}^{5}c^{4})$ und $\epsilon^{2}-\eta^{2} = 1$.

Mit der Abhängigkeit der Anzahl der emittierten Elektronen $N$ von $\eta$, der Energie, ist das erwartete Energiespektrum 
schon recht gut beschrieben, jedoch wirkt nach dem Zerfall der positive Kern anziehend bzw. abstoßend auf die entstandenen Elektronen und Positronen.
Je größer die Kernladungszahl $Z$ des Atomkerns ist und je langsamer die Elektronen sind, (niedriges $\epsilon$) 
desto mehr fällt dieser Effekt ins Gewicht. 
Die Fermifunktion $F(Z,\eta)$ berücksichtigt dies und wird als Korrekturterm obiger Gleichung hinzugefügt:
\begin {equation} \label{Neta}
N(\epsilon) \mathrm{d}\epsilon = \underbrace {\frac{\vert H_{fi}\vert^{2}}{B}}_{C}\; F(Z,\epsilon) \; \eta \epsilon (\epsilon_{0}-\epsilon)^{2} \mathrm {d} \epsilon
\end {equation}

\subsection {Kurieplot}
Interessant ist die beim Zerfall freiwerdende Energie, welche der maximalen Energie eines $\beta$-Teilchens entspricht. 
Durch Umstellen von Gleichung (\ref{Neta}) zu
\begin {displaymath}
\sqrt{\frac{N}{ F(Z,\eta) \eta \epsilon }} = C \; (\epsilon_{0}-\epsilon)
\end {displaymath}
erhält man eine Gerade, deren Nullstelle der Maximalenergie entspricht.

\subsection {$\beta$-Spektrometer}
Um $\beta$-Teilchen zu spektroskopieren kann man sich eines Magnetfeldes senkrecht zur Teilchenbahn, bedienen, 
welches die Teilchen je nach Energie unterschiedlich stark ablenkt. Die wirkende Lorentzkraft erzwingt dabei eine Kreisbahn:
\begin{displaymath}
e v B = \frac{m v^{2}}{r} \qquad \rightarrow \qquad  B r = \frac{mv}{e}
\end {displaymath}
$Br = B\rho$ ist also proportional zum Impuls und somit zur Energie eines Teilchens, weswegen $B\rho$ eine hier sinnvolle Energieeinheit ist.

\subsubsection{$\pi \sqrt{2}$ Spektrometer}
Durch das Eintreten der Teilchen unter leicht unterschiedlichen Winkeln in das Magentfeld, werden die $\beta$-Teilchen mit 
gleichem Impuls aufgefächert, was zu einem schlechten Auflösungsvermögen des Spektrometers führt. 
Um eine Auffächerung zu verhindern kann man nun ein inhomogenes Magnetfeld anlegen, welches die vom Sollbahnradius $\rho_{0}$  abweichenden 
Teilchen mit gleichem Impuls wieder fokussiert:
\begin{displaymath}
B(\rho) = B(\rho_{0}) \sqrt{\frac{\rho_{0}}{\rho}}
\end {displaymath}
Dieses Magnetfeld lässt transversal und horizontal zum Magnetfeld abweichende Teilchen um die Sollbahn schwingen und fokussiert somit \emph{doppelt}. 
Um nun eine gute Energieauflösung zu erhalten, benötigt man die Stelle bzw. den Winkel an dem diese Schwingungen beide die Sollbahn schneiden, 
um dort den Teilchen-Detektor aufzustellen.
Die Schnittwinkel sind:
\begin{equation}
\Phi_{\rho (\perp B)} = \frac{\pi} {\sqrt{1+ \frac{\rho_{0}}{B(\rho_{0})} \frac{\mathrm{d} B(\rho)}{\mathrm{d}\rho}}} \quad ; \quad
 \Phi_{z(|| B)} = \frac{\pi}{\sqrt{- \frac{\rho_{0}}{B(\rho_{0})} \frac{\mathrm{d} B(\rho)}{\mathrm{d}\rho}}}
\end {equation}
Mithilfe der Bedingung, dass die Schnittwinkel gleich sein müssen, erhält man eine Differentialgleichung für $B(\rho)$, 
welche vom oben beschriebenen Magnetfeld gelöst wird.
Aus $\Phi_{\rho}^{-2}+\Phi_{z}^{-2} = \pi^{-2}$ kann der Schnittwinkel und somit der Detektorstandpunkt zu 
$\Phi = \pi \sqrt{2} \approx 255^ {\circ}$ berechnet werden.
Die Aufnahme des Energiespektrums erfolgt nun über die Variation von $B$.

\section{Versuchsaufbau}
Als $\beta$-Spektrometer wird ein $\pi \sqrt{2}$ Spektrometer verwendet, bei dem Detektor und radioaktives Präparat in einer Ebene unter 
einem Winkel von $255^{\circ}$zueinander stehen.
Die $\beta$-Teilchen werden durch eine Blende nahe beim Präparat auf die Sollbahn entlassen, die Sollbahn ist mit einer variablen Blende durchfahrbar, 
die es ermöglicht Transmissionen von $1\%$, $2\%$ und $4\%$ einzustellen. \\
Im kleineren Winkelbereich zwischen Detektor und Präparat befindet sich zur Abschirmung Blei.\\
Eine Vakuumpumpe sorgt für niedrigen Luftdruck im Spektrometer, damit Stöße zwischen Elektronen bzw. Positronen und Luftatomen möglichst 
selten vorkommen.\\
Das Magnetfeld wird durch eine Spule mit variablen Speisestrom erzeugt und mit einer Hallsonde gemessen.\\
Das Signal des Halbleiterdetektor wird verstärkt, in einem Einkanalanalysator nur ein bestimmtes Energiefenster durchgelassen 
(z.B. Röntgen-Quanten interessieren uns nicht) und schließlich in einem BCD Zähler registriert, welcher an einem Zeitgeber angeschlossen ist.\\ 
\begin {center}
\begin {figure} [h]
\centering
\includegraphics [width=5cm] {Versuchsaufbau}  \caption{Versuchsaufbau}
\end {figure}
\end {center}

\section{Versuchsdurchführung}
\subsection {Bestimmung der Offsetspannung der Hallsonde}
Da die Hallsonde auch bei heruntergefahrenem Magnetfeld eine Hallspannung anzeigt, vermessen wir zuerst das Magnetfeld mehrmals
mit der Hallsonde und durchfahren dabei mehrmals die Hysteresekurve bis in die Sättigungsbereiche. 
Wir ziehen den Betrag der Hallspannung für das negative und das positive Remanenzfeld voneinander ab und erhalten so einen Hallspannungswert 
für das Magnetfeld mit der Stärke $0$\,T, den wir noch über mehrere Messungen mitteln. \\
\begin {table} [h] 
\centering
\begin{tabular}{ccc}
     $U_{+}$ [Skt] &  $    U_{-} $ [Skt]&  $ \Delta U $ [Skt]\\
\hline
      8,85 &        3,9 &       4,95 \\
      8,95 &        3,7 &       5,25 \\
       8,8 &        3,9 &        4,9 \\
       8,7 &        3,7 &          5 \\
      8,95 &        3,9 &       5,05 \\
\end{tabular}
\end {table}  
\begin {displaymath}
\overline{\Delta U} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}(\Delta U)_{i} \quad ; \quad \Delta(\overline{\Delta U}) = 
\sqrt{ \frac{1}{N(N-1)}\sum_{i=1}^{N}\{\overline{\Delta U} - (\Delta U)_{i}\}^{2}} 
\end {displaymath}
\begin {displaymath}
\overline {\Delta U} = ( 6,2875 \pm 0,6316 )\,\textnormal{Skt}
\end {displaymath}
 Im Folgenden werden alle Magnetfeldmessungen um diese Offsetspannung korrigiert.
Bei Hallspannungswerten von Thorium und Caesium ($\beta^{-}$-Zerfall) wird $\overline{\Delta U}$ abgezogen, 
bei Natrium ($\beta^{+}$-Zerfall) hinzuaddiert.

\subsection {Untergrundmessung}
Für Transmissionen von $4\%$, $2\%$ und $1\%$ messen wir mehrmals bei abgeschaltetem Magnetfeld den Untergrund mit einer 
jeweiligen Messdauer von $40\,$s.\\
[1,5ex]
\begin{tabular}{rrrrrrr}
Transmission &    $  N_{1} $& $     N_{2}$& $     N_{3}$ &   $   N_{4} $& $\overline{N} =N_{0} $& $\Delta(\overline{N})$ \\
\hline
     4\%  &          3 &          6 &          3 &          4 &          4 &          1 \\
      2\% &          1 &          6 &          4 &          2 &       3,25 & 0,901387819 \\
      1\% &         10 &         10 &         15 &          7 &       10,5 & 1,620185175 \\
\end{tabular}  
\begin {displaymath}
\overline{N} = \frac{1}{4}  \sum_{i=1}^{4} N_{i} \quad ; \quad \Delta N_{i} =\sqrt{N_{i}} \quad ; \quad \Delta \overline{N} =
 \frac{1}{2} \sqrt{\overline{N}} \quad \textnormal{(nach Gauß)}
\end{displaymath}
Die Zählraten werden im Folgenden immer um diesen Untergrund korrigiert, d.h. vermindert.

\subsection {$^{137}Cs$ Spektrum}
$^{137}Cs$ zerf"allt gr"o"stenteils in einen angeregten Zustand von $^{137}Ba$, dessen Zustandsenergie ca. $662\,$keV "uber dem Grundzustand liegt. 
Zu Beginn messen wir das $Cs$ Spektrum in Abst"anden von ca. $U_{Hall} = 10\,$Skt grob durch, um die ungefähre Lage der K- und L-Konversionslinien 
zu bestimmen, an denen wir das Spektrometer später eichen wollen.  
In einem weiteren Schritt werden die Konversionslinien in kleineren Schritten durchmessen, damit für einen Peak-Fit ausreichend viele Daten vorliegen. 
Die Grobmessung und eine Feinmessung wurden mit $4\%$ Transmission und $40\,$s Messdauer durchgeführt, 
eine weitere Feinmessung mit $1\%$ Transmission und $100\,$s Messdauer. 
Die dazugeh"origen Tabellen befinden sich im Anhang, folgende Abk"urzungen wurden verwendet:
$U^{\ast}$ ist die um Offsetspannung korrigierte Hallspannung, $N^{\ast}(U)$ die um den Untergrund korrigierte Zählrate. 
Als Fehler für $U^{\ast}$ nahmen wir $\Delta U^{\ast} = 0,632\,$Skt an, den Fehler der Zählrate betrachteten wir als einen Statistischen.
Da mit steigendem Impuls auch das Impulsintervall des Spektrometers streng proportional gr"o"ser wird (und somit die Z"ahlrate k"unstlich steigt), 
mussten wir die Z"ahlraten bereinigen, indem wir sie durch $U^{\ast}$ teilten.
Folgende Formeln wurden gem"a"s Gau"s´scher Fehlerfortpflanzung verwendet.
\begin {displaymath}
\Delta N(U) = \sqrt{N(U)} \quad ; \quad \Delta N^{ast}(U) = \sqrt{N(U) + \Delta N_{0}^{2}} 
\end {displaymath}
\begin {displaymath}
\Delta \; \frac {N^{ast}}{U^{ast}} = \sqrt{ \biggl(\frac{\Delta N^{\ast}}{U^{\ast}}\biggr)^{2} +
 \biggl(\frac{N^{\ast}}{U^{\ast 2}}\Delta U^{\ast}\biggr)^{2}}
\end {displaymath}

\begin {center}
\begin {figure} [h]
\centering
\includegraphics [width=10cm] {Cs4g}  \caption{$Cs$-Spektrum, Grobdurchmessung, 4\% Transmission}
\end {figure}
\begin{figure} [h]
\centering
\subfigure[4\% Transmission]{ \includegraphics [width=8cm]{Cs4f}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[1\% Transmission]{ \includegraphics[width=8cm]{Cs1f}}
\caption{Feindurchmessung $Cs$-Spektrum}
\end{figure}
\end {center}
\subsection {Eichung des Spektrometers}
Zur Eichung des Spektrometers in $B \rho$-Werten bestimmen wir die Peakpositionen ($U^{max}$)
und Halbwertsbreiten der K- und L-Konversionslinien im $Cs$-Spektrum in $U^{\ast}$-Werten und tragen diese gegen 
theoretisch berechnete Energien der Konversionselektronen in $B\rho$ auf.
Aus einer (hoffentlich) linearen Regression k"onnen wir dann eine Umrechnung von $U^{\ast}$ in $B\rho$ angeben.

Zun"achst berechnen wir die theoretische Energie.
Die kinetische Energie der Konversionselektronen betr"agt 
\begin {displaymath}
E_{kin} = E_{d} - E_{b}
\end {displaymath}
wobei $E_{d}$ die Zerfallsenergie von $^{137}Cs$ (=$661,67\,$keV) und $E_{b}$ die Bindungsenergie der Elektronen ist.
Die Bindungsenergien k"onnen der Versuchsbeschreibung entnommen werden und betragen f"ur die K-Linie $E_{b}^{K} = 37,441\,$keV. 
Die L-Linie besteht eigentlich aus drei Linien mit leicht unterschiedlichen Energien, welche jedoch vom Spektrometer nicht aufgel"ost werden k"onnen:
$E_{b}^{L_{1}}= 5,987\,$keV, $E_{b}^{L_{2}}= 5,624\,$keV und $E_{b}^{L_{3}}\,$keV.
Die kinetischen Energien ergeben sich zu:\\
[1,5ex]
\begin{tabular}{c|ccc}
   $E_{kin}^{K}$       &    $E_{kin}^{L_{1}}$ & $E_{kin}^{L_{2}}$ & $E_{kin}^{L_{3}}$ \\
\hline
      624,219 keV  &  655,673 keV & 656,036 keV & 656,413 keV \\
\end{tabular} \\
[1,5ex]
Um die drei theoretischen L-Linien mit der einen beobachteten L-Linie in "Ubereinstimmung zu bringen, bilden wir ein nach der Multiplizit"at 
des jeweiligen L-Unterzustandes (und somit nach der Linien-Intensit"at) gewichteten Mittelwert:
\begin{displaymath}
E_{kin}^{L} = \frac {2 E_{kin}^{L_{1}} + 2 E_{kin}^{L_{2}} + 4 E_{kin}^{L_{3}}}{2 + 4 + 2} \approx 656,134\,\textnormal{keV}
\end {displaymath}
Diese Werte sind noch in keV angegeben, weswegen wir folgende Berechnungen zum umrechnen in $B\rho$ ben"otigen.
Aus $p = mv = e B \rho$ und $E^{2} = p^{2}c^{2} + m_{0}^{2}c^{4}$ folgt: 
\begin{displaymath}
B\rho = \frac{1}{ec} \sqrt{E^{2}_{kin} + 2 E_{kin}m_{0}c^{2}} 
\end {displaymath}
Die Ergebnisse in $B\rho$ plotten wir gegen die beobachteten Linien in $U^{\ast}$.
Die Werte f"ur die beobachteten Konversionslinien wurden durch Gau"sfits bestimmt, welche im Anhang abgebildet sind.\\
[1,5ex]
\begin{tabular}{cccccc}
    Schale & $E_{kin} [keV]$ & $B \rho [G \cdot cm]$ & $U^{max}_{4\%}$ [Skt] & $U^{max}_{1\%}$ [Skt] & $\overline{U}^{max}$ [Skt] \\
\hline
         K &   $ 624,219$ & $3381,35$ & $ 152,359 \pm    0,043$ &  $152,151 \pm   0,138 $&  $152,255 \pm 0,073 $\\
         L &   $ 656,134$ & $3500,17$ & $ 156,063 \pm    0,075$ &  $156,045 \pm    0,089$ &  $156,054 \pm 0,058 $\\
\end{tabular}

\begin {displaymath}
\overline{U}^{max} = \frac{{U}^{max}_{4\%} +  {U}^{max}_{1\%}}{2} \; \pm \; 
\sqrt{\biggl(\frac{\Delta {U}^{max}_{4\%}}{2}\biggr )^{2} + \biggl( \frac{\Delta {U}^{max}_{1\%}}{2}\biggr)^{2}}
\end {displaymath}
\begin {center}
\begin {figure} [h]
\centering
\includegraphics [width=10cm] {Brho}  \caption{Eichgerade}
\end {figure}
\end {center}
Jetzt k"onnen wir $U^{\ast}$ mithilfe von 
\begin {displaymath}
B\rho = (22,56512\; \pm \;0,10548) \cdot U^{\ast}\,\frac{\textnormal{G cm}}{\textnormal{Skt}}
\end {displaymath}
in $B\rho$ umrechnen, womit das Spektrometer geeicht ist.

\subsection{Aufl"osungsverm"ogen des Spektrometers}
Das Aufl"osungsverm"ogen eines Spektrometers k"onnen wir aus dem Verh"altnis von Halbwertsbreite und Position der K- und L-Konversionslinienpeaks bestimmen:
\begin {displaymath}
A = \frac{\delta (B \rho)}{(B \rho)_{max}} = \frac {\delta U}{U_{max}} \quad \pm 
\quad \sqrt{\biggl(\frac {\Delta (\delta U)}{U_{max}}\biggr)^{2} + \biggl(\frac{\delta U}{U_{max}^{2}} \Delta U_{max} \biggr)^{2}}
\end {displaymath}
Die $max$-Werte sind hierbei die Peakpositionen, die $\delta$-Werte sind die Halbwertsbreiten.\\
[1,5ex]
\begin {center}
\begin{tabular}{ccccccc}
Transm. & $U_{K}^{max}$ [Skt]  & $\delta U_{K}$ [Skt]  & $U_{L}^{max}$ [Skt]  & $\delta U_{L}$ [Skt]  & $A_{K}$ [\%]  & $A_{L}$ [\%] \\
\hline
     $4 \% $&$    152,4 \pm      0,044 $&$      1,614 \pm      0,118 $&    $156,1 \pm      0,075$ &  $       - \pm     - $&
$      0,011 \pm      0,001 $&$    NAN \pm     NAN$ \\
     $1 \%$ & $   152,12 \pm      0,138$ & $     2,457 \pm      0,539$ &   $ 156,1 \pm   0,090 $& $     2,270 \pm      0,077 $& 
 $    0,016 \pm     0,004 $&    $  0,015 \pm     0,0005$ \\
\end{tabular}  
\end {center}
\medskip
Der L-Linienpeak bei 4\% Transmission l"asst sich nur schlecht fitten: die Halbwertsbreite ist kleiner als ihr Fehler, weswegen wir diesen 
Wert nicht in unseren Berechnungen verwendet haben.

\subsection {Aufnahme des Natrium und Thallium Spektrum}
Zun"achst messen wir mehrmals den Untergrund bei Thallium und Natrium f"ur jeweils 40\,s bei 4\% Transmission und bilden die Mittelwerte.
\begin {displaymath}
\overline{N} = \frac{1}{4}  \sum_{i=1}^{4} N_{i} \quad ; \quad \Delta N_{i} =\sqrt{N_{i}} \quad ; \quad \Delta \overline{N} =
 \frac{1}{2} \sqrt{\overline{N}} \quad \textnormal{(nach Gauß)}
\end{displaymath}\\
[1,5ex]
\begin{tabular}{ccccccrl}
   &      $N_{1} $&  $    N_{2} $&$      N_{3}$ & $     N_{4}$ & $     N_{5}$& $\overline{N} =N_{0} $\\
   \hline
$^{22}Na$ &  $       73$ &    $     79 $&$         73 $& $        84 $& $ 74$ &    $ 76,6 \pm 3,9 $ \\
$^{204}Tl$& $	1	$& $1$	&$ 2 $&$	1 $ & $4	$& $1,8	\pm 0,6$	\\
\end {tabular} \\
[1,5ex]

Die Aufnahme des $^{22}Na$ und $^{204}Tl$ Spektrums erfolgt nun genauso wie beim Caesium Spektrum, mit dem einzigen Unterschied, 
da"s wir nun $B\rho$-Werte anstelle von $U^{\ast}$ angeben k"onnen und,
 wie beschrieben, die Korrektur durch die Offsetspannung beim Natrium als $\beta^{+}$ Strahler anders als beim Caesium gehandhabt wird.
 
Die Wertetabelle befindet sich im Anhang, $U^{\ast}$ bezeichnet hierbei wieder die um die Offsetspannung korrigierte Hallspannung und 
$N^{\ast}$ die um den Untergrund korrigierte Z"ahlrate. 
Wir begannen bei Natrium mit einem negativen $U_{Hall}$-Wert, welcher durch die Korrektur einen sehr kleinen $U^{\ast}$-Wert von $+0,02\,$Skt zur Folge hat.
Dieser $U^{\ast}$-Wert lies $N^{\ast}/U^{\ast}$ sowie den Fehler explodieren, weswegen wir den ersten Wert im Natriumspektrum nicht im Plot dargestellt haben.
Dies zeigt, dass die Korrektur durch die Offsetspannung nicht perfekt ist, sondern verst"andlicherweise fehlerbehaftet.
Der Fehler der Z"ahlrate $N$ wurde zu $\sqrt{N}$ berechnet.

\begin{figure} [h]
\centering
\subfigure[$^{22}Na$-Spektrum]{ \includegraphics [width=8cm]{Natrium}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[$^{204}Tl$-Spektrum]{ \includegraphics[width=8cm]{Thallium}}
\caption{Spektren mit 4\% Transmission und 40\,s Messzeit}
\end{figure}

Die Spektren verlaufen, bis auf einen Ausreisser im Natrium Spektrum bei ca. $600\,$B$\rho$, wie es im Theorie-Teil vermutet wird (siehe dort).
Der Ausreisser ist wahrscheinlich durch ein fehlerhaftes Auslesen der Daten verursacht worden  
(menschliches Versagen - wir wollen darauf nicht genauer eingehen).

F"ur einen Kurieplot aus dem wir die maximale Energie der $\beta$-Teilchen bestimmen k"onnen, m"ussen wir zuerst noch ein paar 
Berechnungen durchf"uhren, welche bereits in den Wertetabellen der Spektren verwendet wurden.
Zun"achst rechnen wir die $B \rho$-Werte in nat"urliche Einheiten um:
\begin{displaymath}
\eta = \frac {p}{m_{0}c^{2}} = \frac {B \rho}{m_{0}c^{2} / e } = \frac{B\rho}{1705\,\textnormal{G cm}} \; \pm 
\; \frac{\Delta(B\rho)}{1705 \textnormal{G cm}} 
\epsilon = \sqrt{1 + \eta^{2}} \; \pm \; \frac{\eta}{\sqrt{1+\eta^{2}}} \Delta \eta
\end {displaymath}
Dann ben"otigen wir noch die Werte der Fermifunktion $F(Z,\eta)$ f"ur Thallium ($Z = 82$) und Natrium ($Z=11$).
Der Versuchsbeschreibung entnahmen wir einige Werte f"ur $F(Tl)$, dem Rietzler/Kopitzki (Figur~111) einige Werte f"ur $F(Na)$ und 
f"uhrten eine Regression zur Bestimmung der gesuchten Funktion durch.
Die Werte aus dem Rietzler/Kopitzki mussten von $\epsilon$ in $\eta$ umgerechent werden, es wurde f"ur diese Werte ein Ablesefehler 
f"ur $F(Z,\epsilon)$ von $0,01$, f"ur $\epsilon$ von $0,02$ angenommen.

\begin {center}
\begin{figure} [h]
\centering
\subfigure[aufgetragen gegen $\eta$]{ \includegraphics [width=8cm]{F(Z=82,eta)}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[aufgetragen gegen $\epsilon$]{ \includegraphics[width=8cm]{F(Z=82,epsilon)}}
\caption{Fermi-Funktions-Fit f"ur Thallium}
\end{figure}
\begin{figure} [h]
\centering
\subfigure[aufgetragen gegen $\eta$]{ \includegraphics [width=8cm]{F(Z=11,eta)}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[aufgetragen gegen $\epsilon$]{ \includegraphics[width=8cm]{F(Z=11,epsilon)}}
\caption{Fermi-Funktions-Fit f"ur Natrium}
\end{figure}
\end {center}

Als Ergebnis erhielten wir f"ur die Fermifunktionen:
\begin {displaymath}
F(Z=11,\epsilon) = (0,799\pm 0,005) e^{\frac{-(0,035\pm0,002)}{\epsilon - (0,99\pm0,002)}}
\end {displaymath}
\begin {eqnarray}
\Delta F(Z=11,\epsilon) & = & \Biggr( \biggl(e^{\frac{-0,035}{\epsilon - 0,99}} 0,005\biggr)^{2}+
\biggl(0,799 e^{\frac{-0,035}{\epsilon - 0,99}} \frac{0,002}{\epsilon - 0,99}\biggr)^{2} + \nonumber \\
& + &\biggl(0,799 e^{\frac{-0,035}{\epsilon - 0,99}} \frac{0,035}{(\epsilon - 0,99)^{2}} 0,002\biggr)^{2}+ 
\biggl(0,799 e^{\frac{-0,035}{\epsilon - 0,99}} \frac{0,035}{(\epsilon - 0,99)^{2}}\: \Delta \epsilon \biggr)^{2}\Biggl)^{\frac{1}{2}} \nonumber
\end {eqnarray}
\begin {displaymath}
F (Z=82,\epsilon) = (19,854\pm0,724) + (9012946 \pm 5,242 \cdot 10^{12}) e^{-\frac{\epsilon - (0,604\pm20609)}{0,035\pm0,002}} + 
(145,015\pm9198705) e^{-\frac{\epsilon - (0,604\pm20609)}{0,324\pm0,031}}
\end {displaymath}
\begin {eqnarray}
\Delta F (Z=82,\epsilon) & = &  \Biggl( 0,725^{2}+\biggl( 5,242\cdot 10^{12} e^{-\frac{\epsilon -0,604}{0,035}}\biggr)^{2}+ \nonumber \\ & + &
\biggl( 9012946 (\epsilon -0,604)e^{-\frac{\epsilon -0,604}{0,035}}\frac{\Delta \epsilon}{0,035}+
145,015 (\epsilon -0,604)e^{-\frac{\epsilon -0,604}{0,325}} \frac{\Delta \epsilon }{0,325}\biggr)^{2}+ \nonumber \\ & + &
\biggl( 9012946,122 (\epsilon -0,604)e^{-\frac{\epsilon -0,604}{0,035}} \frac{20609,646}{0,035} + 
145,015 (\epsilon - 0,604)e^{-\frac{\epsilon -0,604}{0,325}}\frac{20609,646}{0,325}\biggr)^{2} + \nonumber \\ & + &
\biggl( 9198705,65 e^{-\frac{\epsilon -0,604}{0,325}}\biggr)^{2}+
\biggl( 9012946,123 (\epsilon -0,604)e^{-\frac{\epsilon -0,604}{0,035}}\frac {0,0023}{0,035^{2}}\biggr)^{2}+ \nonumber \\ & + &
\biggl (145,015 (\epsilon -0,604)e^{-\frac{\epsilon -0,604}{0,325}} \frac{0,032}{0,325^{2}}\biggr)^{2}\Biggr)^{\frac{1}{2}} \nonumber
\end {eqnarray}\\
[1.8ex]
Nun haben wir alle n"otigen Werte, um die Kuriefunktion zu plotten.
\begin {displaymath}
Y := \sqrt{\frac{N}{ F(Z,\eta) \eta \epsilon }} = C \; (\epsilon_{0}-\epsilon)^{2}
\end {displaymath}
\begin{displaymath}
\Delta Y = \Delta \sqrt{\dots} = \frac {Y}{2} \sqrt{ \biggl(\frac{\Delta N}{N}\biggr)^{2} + \biggl ( \frac{\Delta F(Z;\eta)}{F(Z;\eta)}\biggr)^{2}+ 
\biggl(\frac{\Delta \eta}{\eta}\biggr)^{2} + \biggl(\frac{\Delta \epsilon}{\epsilon}\biggr)^{2}}
\end {displaymath}

\begin {center}
\begin {figure} [h]
\centering
\includegraphics [width=12cm] {KurieTl}  \caption{Kurieplot f"ur Thallium}
\end {figure}
\begin {figure} [h]
\centering
\includegraphics [width=12cm] {KurieNa}  \caption{Kurieplot f"ur Natrium}
\end {figure}
\end {center}

Die Fehlerbalken des Kurieplots von Natrium sind recht gro"s (wesentlich gr"o"ser als bei Thallium). 
Ein Grund daf"ur sind die bereits sehr gro"sz"ugig angesetzten Ablesefehler der Fermifunktionswerte f"ur Natrium, 
die Fermifunktionswerte f"ur Thalium waren in der Versuchsbeschreibung ohne Fehler angegeben.
Ein paar Z"ahlraten sind niedriger als der durchschnittliche Untergrund, was zur Folge hat, dass der entsprechende $Y$-Wert komplex ist; 
Diese Werte haben wir ausgelassen.
Aus den Geradengleichungen $ Y = m\cdot \epsilon + b$ k"onnen wir nun durch Nullstellenbestimmung $\epsilon_{0}$ ermitteln und daraus die gesuchten Energien.
\begin {displaymath}
Y = C \epsilon_{0}-\epsilon) = m \epsilon + b = 0 \quad \to \quad \epsilon_{0} = -\frac{b}{m}\; \pm \;\sqrt {\biggl( \frac{\Delta b}{m}\biggr)^{2} + 
\biggl( \frac{b}{m^{2}}\Delta m\biggr)^{2}}
\end {displaymath}
\begin {displaymath}
E = (( \epsilon_{0} -1 ) \cdot 511\; \pm\; \Delta \epsilon_{0} \cdot 511)\, \textnormal{keV} 
\end {displaymath}\\
[1,5ex]
\begin{tabular}{c|cccc}
           &          b            &          m             & $\epsilon_{0}$             &        $  E   $          \\
\hline
        $Tl $& $   2,547 \pm    0,019$&   $-1,038 \pm    0,008$ & $2,4438 \pm 0,0270$ & $737,803 \pm 13,794$ \\
       $ Na $&$   16,731 \pm    0,589$ &   $-7,769 \pm    0,291$ & $2,1534 \pm 0,1106$ & $589,396 \pm 56,532 $\\
\end{tabular}  \\
[2,5ex]
Die $\beta$-Zerfallsenergie wird in der Literatur (http://atom.kaeri.re.kr/) f"ur Thallium mit $(763,718 \pm 0.177)$\,keV angegeben 
(nicht innerhalb der Fehlergrenzen), f"ur Natrium mit 545,7\,keV (innerhalb der Fehlergrenzen).

Die Abweichung vom Literaturwert betr"agt f"ur Thallium 3,3\%, f"ur Natrium 8\%.

Die Fehlergrenze f"ur Natrium ist deshalb so gro"s im Gegensatz zu dem von Thallium, da im Kurieplot $F(Z=11,\eta)$ mit einem gro"sen Fehler eingeht 
(was bei Thallium nicht der Fall ist). Die unterschiedliche $\Delta F(Z;\eta$)-Werte lassen sich wiederum mit den unterschiedlichen Methoden 
beim Ermitteln der Fermifunktionswerte der 2 Elemente erkl"aren (s.o.).

Dass der Thallium-Wert nicht in den Fehlergrenzen liegt, kann somit folgende Gr"unde haben: Entweder w"are ein gro"ser Fehler f"ur die 
aus der Versuchsbeschreibung entnommen Werte von $F(Z=82,\eta)$ angeme"sen gewesen, oder wir haben hier noch weitere unber"ucksichtigte Fehlerquellen: \\
In den Berechnungen haben wir die ideale Annahme getroffen, da"s die $\beta$-Teilchen auf ihrer gesamten Bahn keine 
Energie verlieren, was einen niedrigeren realen Wert erkl"aren k"onnte.
In das Endergebnis flossen viele Regressionsrechnungen und Gau"speaksfits ein.
Gerade bei Letzteren waren es oft nicht m"oglich, den Peak vom Untergrund bzw. anderen Komponenten des Spektrums zu trennen, 
was einen Gaussfit mathematisch nicht unbedingt mit einem gr"o"seren Fehlern belastet hat, w"ahrend er in Wahrheit z.B. eigentlich \emph{verschoben} worden ist \\
\medskip

\section {Anhang}


\begin {table} [h] \caption {Grobdurchmessung $Cs$-Spektrum, $4\%$, 40\,s}
\centering
\begin{tabular}{ccccccc}

   $U $[Skt] & $U^{\ast}$ [Skt] &      $ N(U)$ &     $ N^{\ast}(U)$ & $\Delta N^{\ast}(U)$ &     $ N^{\ast}/U^{\ast}$ [1/Skt] & $\Delta N^{\ast}/U^{\ast}$ [1/Skt] \\
\hline
       8,1 &      1,813 &          3 &         -1 &          2 &          -0,552 &      1,120 \\
      10,2 &      3,913 &          3 &         -1 &          2 &          -0,256 &      0,513 \\
      20,1 &     13,813 &          5 &          1 & 2,44 &           0,072 &      0,177 \\
     30,25 &     23,963 &          7 &          3 & 2,82 &          0,125 &      0,118 \\
     40,35 &     34,063 &          1 &         -3 & 1,41 &         -0,088 &      0,042 \\
     50,25 &     43,963 &          8 &          4 &          3 &          0,091 &      0,068 \\
     60,55 &     54,263 &          4 &          0 & 2,23 &          0,000 &      0,041 \\
      70,3 &     64,013 &         11 &          7 & 3,46 &           0,109 &      0,054 \\
      80,1 &     73,813 &         11 &          7 & 3,46 &           0,095 &      0,047 \\
      90,4 &     84,113 &         76 &         72 & 8,77 &          0,856 &      0,105 \\
     99,95 &     93,663 &        206 &        202 & 14,38 &          2,157 &      0,154 \\
     110,3 &    104,013 &        230 &        226 & 15,19&           2,173 &      0,147 \\
    120,05 &    113,763 &        150 &        146 & 12,28 &           1,283 &      0,108 \\
    130,45 &    124,163 &         90 &         86 & 9,53 &          0,693 &      0,077 \\
     140,5 &    134,213 &         24 &         20 &          5 &           0,149 &      0,037 \\
     150,7 &    144,413 &         63 &         59 &          8 &         0,409 &      0,055 \\
    159,95 &    153,663 &        646 &        642 & 25,43 &           4,178 &      0,166 \\
    170,45 &    164,163 &         12 &          8 & 3,60 &           0,049 &      0,022 \\
     180,5 &    174,213 &         12 &          8 & 3,60 &           0,046 &      0,021 \\
     190,1 &    183,813 &         11 &          7 & 3,46 &           0,038 &      0,019 \\
\end{tabular}  
\end {table}
\begin {table} [h] \caption {Feindurchmessung $Cs$-Spektrum, $4\%$, 40\,s Tabelle 1/2}
\centering
\begin{tabular}{ccccccc}
   $U $[Skt] & $U^{\ast}$ [Skt] &      $ N(U)$ &     $ N^{\ast}(U)$ & $\Delta N^{\ast}(U)$ &     $ N^{\ast}/U^{\ast}$ [1/Skt] & $\Delta N^{\ast}/U^{\ast}$ [1/Skt] \\
\hline
    130,55 &    124,263 &         77 &         73 & 8,83 &               0,587 &      0,071 \\
    131,45 &    125,163 &         73 &         69 & 8,60 &                0,551 &      0,069 \\
    133,05 &    126,763 &         60 &         56 & 7,81 &                 0,442 &      0,062 \\
    133,55 &    127,263 &         43 &         39 & 6,63 &                  0,306 &      0,052 \\
    134,45 &    128,163 &         57 &         53 & 7,61 &                  0,414 &      0,059 \\
    135,05 &    128,763 &         43 &         39 & 6,63 &                 0,303 &      0,052 \\
    135,75 &    129,463 &         52 &         48 & 7,28 &                0,371 &      0,056 \\
     136,6 &    130,313 &         35 &         31 &          6 &                0,238 &      0,046 \\
     137,8 &    131,513 &         34 &         30 & 5,91 &                 0,228 &      0,045 \\
    138,85 &    132,563 &         30 &         26 & 5,56 &                 0,196 &      0,042 \\
    139,45 &    133,163 &         38 &         34 &   6,24 &                 0,255 &      0,047 \\
    140,25 &    133,963 &         22 &         18 & 4,79 &                  0,134 &      0,036 \\
    140,95 &    134,663 &         25 &         21 & 5,09 &                0,156 &      0,038 \\
     141,5 &    135,213 &         25 &         21 & 5,09 &                0,155 &      0,038 \\
    142,25 &    135,963 &         35 &         31 &          6 &                  0,228 &      0,044 \\
     143,4 &    137,113 &         23 &         19 & 4,89 &                 0,139 &      0,036 \\
    144,35 &    138,063 &         24 &         20 &          5 &                 0,145 &      0,036 \\
    144,95 &    138,663 &         31 &         27 & 5,65 &                0,195 &      0,041 \\
    145,65 &    139,363 &         26 &         22 & 5,19 &                 0,158 &      0,037 \\
    146,25 &    139,963 &         23 &         19 & 4,89 &              0,136 &      0,035 \\
    146,85 &    140,563 &         36 &         32 & 6,08 &                0,228 &      0,043 \\
    147,85 &    141,563 &         50 &         46 & 7,14 &                0,325 &      0,050 \\
     148,5 &    142,213 &         53 &         49 & 7,34&                 0,345 &      0,052 \\
     149,1 &    142,813 &         41 &         37 &  6,40 &                0,259 &      0,045 \\
    150,25 &    143,963 &         66 &         62 & 8,18 &                0,431 &      0,057 \\
     150,7 &    144,413 &         68 &         64 & 8,30 &                0,443 &      0,058 \\
     151,5 &    145,213 &         71 &         67 & 8,48 &                0,461 &      0,058 \\
    152,05 &    145,763 &         91 &         87 & 9,59 &               0,597 &      0,066 \\
    152,55 &    146,263 &         84 &         80 & 9,21 &                0,547 &      0,063 \\
     153,6 &    147,313 &         87 &         83 & 9,38 &                0,563 &      0,064 \\
    154,15 &    147,863 &         86 &         82 & 9,32 &                0,555 &      0,063 \\
    155,15 &    148,863 &        123 &        119 & 11,13 &                 0,799 &      0,075 \\
    155,75 &    149,463 &        137 &        133 & 11,74 &              0,890 &      0,079 \\
    156,15 &    149,863 &        173 &        169 &  13,19 &                1,128 &      0,088 \\
    156,65 &    150,363 &        283 &        279 & 16,85 &                1,856 &      0,112 \\
    157,05 &    150,763 &        345 &        341 & 18,60 &               2,262 &      0,124 \\
    157,75 &    151,463 &        605 &        601 & 24,61 &                3,968 &      0,163 \\
    158,05 &    151,763 &        785 &        781 & 28,03 &               5,146 &      0,186 \\
    158,55 &    152,263 &        943 &        939 &  30,72 &                6,167 &      0,203 \\
    158,85 &    152,563 &       1040 &       1036 & 32,26 &                 6,791 &      0,213 \\
    159,25 &    152,963 &        864 &        860 & 29,41 &               5,622 &      0,194 \\
    159,75 &    153,463 &        460 &        456 & 21,47 &                2,971 &      0,140 \\
    160,15 &    153,863 &        250 &        246 & 15,84 &                1,599 &      0,103 \\
     160,6 &    154,313 &        198 &        194 &  14,10 &                1,257 &      0,092 \\
    160,95 &    154,663 &        211 &        207 & 14,56 &                1,338 &      0,094 \\
    161,25 &    154,963 &        223 &        219 & 14,96 &                1,413 &      0,097 \\
\end{tabular}  
\end {table}
\begin {table} [h] \caption {Feindurchmessung $Cs$-Spektrum, $4\%$, 40\,s Tabelle 2/2}
\centering
\begin{tabular}{ccccccc}
   $U $[Skt] & $U^{\ast}$ [Skt] &      $ N(U)$ &     $ N^{\ast}(U)$ & $\Delta N^{\ast}(U)$ &     $ N^{\ast}/U^{\ast}$ [1/Skt] & $\Delta N^{\ast}/U^{\ast}$ [1/Skt] \\
\hline
    161,65 &    155,363 &        274 &        270 &  16,58 &                 1,738 &      0,107 \\
    162,35 &    156,063 &        268 &        264 & 16,40 &                1,692 &      0,105 \\
    162,65 &    156,363 &        269 &        265 & 16,43 &                1,695 &      0,105 \\
    163,25 &    156,963 &        271 &        267 & 16,49 &                1,701 &      0,105 \\
    163,65 &    157,363 &        220 &        216 & 14,86 &              1,373 &      0,095 \\
    163,95 &    157,663 &        221 &        217 & 14,89 &               1,376 &      0,095 \\
    164,35 &    158,063 &        150 &        146 & 12,28 &              0,924 &      0,078 \\
    164,95 &    158,663 &         76 &         72 & 8,77 &               0,454 &      0,055 \\
    165,75 &    159,463 &         78 &         74 & 8,88 &               0,464 &      0,056 \\
    166,05 &    159,763 &         56 &         52 & 7,54 &               0,325 &      0,047 \\
       167 &    160,713 &         47 &         43 & 6,92 &                0,268 &      0,043 \\
     167,5 &    161,213 &         34 &         30 & 5,91 &                 0,186 &      0,037 \\
    168,05 &    161,763 &         35 &         31 &          6 &                  0,192 &      0,037 \\
     168,5 &    162,213 &         17 &         13 & 4,24 &                  0,080 &      0,026 \\
    169,15 &    162,863 &         17 &         13 & 4,24 &                0,080 &      0,026 \\
    169,65 &    163,363 &         14 &         10 & 3,87&                 0,061 &      0,024 \\
    170,35 &    164,063 &         15 &         11 &          4 &                  0,067 &      0,024 \\
\end{tabular}  
\end {table}
\begin {table} [h] \caption {Feindurchmessung $Cs$-Spektrum, $1\%$, 100\,s}
\centering
\begin{tabular}{ccccccc}
   $U $[Skt] & $U^{\ast}$ [Skt] &      $ N(U)$ &     $ N^{\ast}(U)$ & $\Delta N^{\ast}(U)$ &     $ N^{\ast}/U^{\ast}$ [1/Skt] & $\Delta N^{\ast}/U^{\ast}$ [1/Skt] \\
\hline
       145 &    138,713 &         55 &       44,5 & 7,591  &      0,321 &      0,055 \\
    145,55 &    139,263 &         62 &       51,5 &  8,038   &      0,370 &      0,058 \\
       146 &    139,713 &         69 &       58,5 & 8,463  &      0,419 &      0,061 \\
    146,65 &    140,363 &         76 &       65,5 & 8,867   &      0,467 &      0,063 \\
    147,15 &    140,863 &         79 &       68,5 &  9,034   &      0,486 &      0,064 \\
    148,15 &    141,863 &         93 &       82,5 & 9,778   &      0,582 &      0,069 \\
    148,55 &    142,263 &        107 &       96,5 & 10,470   &      0,678 &      0,074 \\
    149,05 &    142,763 &        102 &       91,5 & 10,228  &      0,641 &      0,072 \\
    149,75 &    143,463 &        129 &      118,5 & 11,472  &      0,826 &      0,080 \\
     150,6 &    144,313 &        156 &      145,5 & 12,594   &      1,008 &      0,087 \\
    151,15 &    144,863 &        168 &      157,5 & 13,062  &      1,087 &      0,090 \\
    151,95 &    145,663 &        189 &      178,5 & 13,842  &      1,225 &      0,095 \\
    152,55 &    146,263 &        179 &      168,5 &  13,476  &      1,152 &      0,092 \\
       153 &    146,713 &        217 &      206,5 & 14,819   &      1,408 &      0,101 \\
    153,55 &    147,263 &        225 &      214,5 & 15,087   &      1,457 &      0,103 \\
    154,55 &    148,263 &        280 &      269,5 & 16,811   &      1,818 &      0,114 \\
    154,95 &    148,663 &        251 &      240,5 & 15,925  &      1,618 &      0,107 \\
    155,65 &    149,363 &        363 &      352,5 & 19,121   &      2,360 &      0,128 \\
       156 &    149,713 &        434 &      423,5 & 20,895   &      2,829 &      0,140 \\
    156,55 &    150,263 &        691 &      680,5 & 26,336   &      4,529 &      0,176 \\
    157,05 &    150,763 &       1010 &      999,5 & 31,821   &      6,630 &      0,213 \\
    157,4 &    151,113 &       1311 &     1300,5 &  36,243   &      8,606 &      0,243 \\
    157,85 &    151,563 &       1805 &     1794,5 & 42,516   &     11,840 &      0,285 \\
\end{tabular}  
\end {table} 
\begin {table} \caption {Natrium Spektrum ; Tabelle 1/2}
\begin{tabular}{cccccccccc}

  $ U$ [Skt] &$ \Delta U $[Skt] &  $ U^{\ast}$ [Skt] & $\Delta U^{\ast}$ [Skt] & $B\rho$ [G cm] &$ \Delta B\rho$ [G cm] &       $\eta$ & $\Delta \eta $ \\
\hline
      -7,9 &       0,05 &       0,02 &       0,79 &       0,42 &       0,80 &      0,000 &     0,0005 \\
       0,7 &       0,05 &       8,62 &       0,79 &     194,48 &       0,80 &      0,114 &     0,0005 \\
       7,1 &       0,05 &      15,02 &       0,79 &     338,90 &       0,80 &      0,199 &     0,0005 \\
      17,1 &       0,05 &      25,02 &       0,79 &     564,55 &       0,80 &      0,331 &     0,0005 \\
      21,2 &       0,05 &      29,12 &       0,79 &     657,07 &       0,80 &      0,385 &     0,0005 \\
     28,35 &       0,05 &      36,27 &       0,79 &     818,41 &       0,80 &      0,480 &     0,0005 \\
      35,7 &       0,05 &      43,62 &       0,79 &     984,26 &       0,80 &      0,577 &     0,0005 \\
      42,2 &       0,05 &      50,12 &       0,79 &    1130,94 &       0,80 &      0,663 &     0,0005 \\
     49,25 &       0,05 &      57,17 &       0,79 &    1290,02 &       0,80 &      0,757 &     0,0005 \\
     56,05 &       0,05 &      63,97 &       0,79 &    1443,46 &       0,80 &      0,847 &     0,0005 \\
     63,15 &       0,05 &      71,07 &       0,79 &    1603,67 &       0,80 &      0,941 &     0,0005 \\
     70,05 &       0,05 &      77,97 &       0,79 &    1759,37 &       0,80 &      1,032 &     0,0005 \\
      77,6 &       0,05 &      85,52 &       0,79 &    1929,74 &       0,80 &      1,132 &     0,0005 \\
     84,05 &       0,05 &      91,97 &       0,79 &    2075,29 &       0,80 &      1,217 &     0,0005 \\
     91,05 &       0,05 &      98,97 &       0,79 &    2233,24 &       0,80 &      1,310 &     0,0005 \\
     98,15 &       0,05 &     106,07 &       0,79 &    2393,45 &       0,80 &      1,404 &     0,0005 \\
    105,05 &       0,05 &     112,97 &       0,79 &    2549,15 &       0,80 &      1,495 &     0,0005 \\
    112,45 &       0,05 &     120,37 &       0,79 &    2716,14 &       0,80 &      1,593 &     0,0005 \\
    119,05 &       0,05 &     126,97 &       0,79 &    2865,07 &       0,80 &      1,680 &     0,0005 \\
    126,45 &       0,05 &     134,37 &       0,79 &    3032,05 &       0,80 &      1,778 &     0,0005 \\
    133,35 &       0,05 &     141,27 &       0,79 &    3187,75 &       0,80 &      1,870 &     0,0005 \\
    140,45 &       0,05 &     148,37 &       0,79 &    3347,96 &       0,80 &      1,964 &     0,0005 \\
    147,05 &       0,05 &     154,97 &       0,79 &    3496,89 &       0,80 &      2,051 &     0,0005 \\
    154,25 &       0,05 &     162,17 &       0,79 &    3659,36 &       0,80 &      2,146 &     0,0005 \\
    163,35 &       0,05 &     171,27 &       0,79 &    3864,70 &       0,80 &      2,267 &     0,0005 \\
    170,45 &       0,05 &     178,37 &       0,79 &    4024,91 &       0,80 &      2,361 &     0,0005 \\
\end{tabular}  
\end {table}
\begin {table} \caption {Natrium Spektrum ; Tabelle 2/2}
\begin{tabular}{cccccccccc}
  $\epsilon $& $\Delta \epsilon$ &         $N^{\ast}$ &  $\Delta N^{\ast}$ &$ N^{\ast} / U^{\ast} $& $\Delta N^{\ast} / U^{\ast}$ &     $ F(Z,\epsilon)$ & $\Delta F(Z,\epsilon)$ &        $  Y$ &  $ \Delta Y $\\
\hline
     1,000 &   1,17E-07      &        1,4 &       9,66 &      74,67 &    3204,93       &      0,010 &      5,585 &   5447,331 & 1504650,082 \\
     1,006 &   5,33E-05      &       -5,6 &       9,29 &      -0,65 &       1,08       &      0,072 &     12,616 &     NAN&     NAN\\
     1,020 &   9,16E-05      &        0,4 &       9,61 &       0,03 &       0,64       &      0,225 &     10,351 &      0,764 &     19,825 \\
     1,053 &   1,48E-04      &       28,4 &      10,97 &       1,14 &       0,44       &      0,453 &      4,303 &      2,682 &     12,761 \\
     1,072 &   1,69E-04      &      303,4 &      19,88 &      10,42 &       0,74       &      0,516 &      3,035 &      6,994 &     20,581 \\
     1,109 &   2,03E-04      &       14,4 &      10,31 &       0,40 &       0,28       &      0,593 &      1,696 &      1,121 &      1,652 \\
     1,155 &   2,35E-04      &       25,4 &      10,83 &       0,58 &       0,25       &      0,645 &      1,002 &      1,164 &      0,938 \\
     1,200 &   2,60E-04      &       63,4 &      12,46 &       1,26 &       0,25       &      0,676 &      0,674 &      1,533 &      0,780 \\
     1,254 &   2,84E-04      &       91,4 &      13,54 &       1,60 &       0,24       &      0,700 &      0,461 &      1,552 &      0,524 \\
     1,310 &   3,04E-04      &      106,4 &      14,08 &       1,66 &       0,22       &      0,716 &      0,336 &      1,447 &      0,353 \\
     1,373 &   3,22E-04      &      133,4 &      15,01 &       1,88 &       0,21       &      0,729 &      0,251 &      1,412 &      0,255 \\
     1,437 &   3,37E-04      &      219,4 &      17,64 &       2,81 &       0,23       &      0,739 &      0,196 &      1,602 &      0,222 \\
     1,510 &   3,52E-04      &      714,4 &      28,40 &       8,35 &       0,34       &      0,747 &      0,152 &      2,557 &      0,266 \\
     1,575 &   3,63E-04      &     2012,4 &      45,87 &      21,88 &       0,53       &      0,753 &      0,127 &      3,893 &      0,332 \\
     1,648 &   3,74E-04      &     2092,4 &      46,74 &      21,14 &       0,50       &      0,758 &      0,106 &      3,595 &      0,255 \\
     1,724 &   3,83E-04      &     2041,4 &      46,19 &      19,25 &       0,46       &      0,762 &      0,089 &      3,231 &      0,193 \\
     1,799 &   3,91E-04      &     1804,4 &      43,55 &      15,97 &       0,40       &      0,766 &      0,077 &      2,785 &      0,145 \\
     1,881 &   3,98E-04      &     1227,4 &      36,32 &      10,20 &       0,31       &      0,769 &      0,067 &      2,104 &      0,096 \\
     1,955 &   4,04E-04      &      794,4 &      29,77 &       6,26 &       0,24       &      0,771 &      0,059 &      1,571 &      0,067 \\
     2,040 &   4,10E-04      &      289,4 &      19,53 &       2,15 &       0,15       &      0,773 &      0,052 &      0,876 &      0,042 \\
     2,120 &   4,14E-04      &       27,4 &      10,92 &       0,19 &       0,08       &      0,775 &      0,047 &      0,251 &      0,051 \\
     2,204 &   4,19E-04      &       -3,6 &       9,40 &      -0,02 &       0,06       &      0,777 &      0,042 &     NAN&     NAN\\
     2,282 &   4,22E-04      &       -4,6 &       9,34 &      -0,03 &       0,06 &            0,778 &      0,039 &     NAN&     NAN\\
     2,368 &   4,26E-04 &            -8,6 &       9,13 &      -0,05 &       0,06       &      0,779 &      0,036 &     NAN&     NAN\\
     2,477 &   4,30E-04      &       -4,6 &       9,34 &      -0,03 &       0,05       &      0,781 &      0,032 &     NAN&     NAN\\
     2,564 &   4,33E-04      &       -3,6 &       9,40 &      -0,02 &       0,05       &      0,782 &      0,005 &     NAN&     NAN\\
\end{tabular}  
\end {table}
\begin {table} \caption{$Tl$-Spektrum; Tabelle 1/2}
\begin{tabular}{cccccccc}
   $U$ [Skt] &$ \Delta U $[Skt] &  $ U^{\ast}$ [Skt] & $\Delta U^{\ast}$ [Skt] & $B\rho$ [G cm] & $\Delta B\rho$ [G cm] &     $  \eta$ &$ \Delta \eta $\\
\hline
      4,89 &       0,05 &      -3,03 &       0,79 &     -68,34 &       0,80 &     -0,040 &   4,70E-04 \\
     11,65 &       0,05 &       3,73 &       0,79 &      84,20 &       0,80 &      0,049 &   4,70E-04 \\
        19 &       0,05 &      11,08 &       0,79 &     250,05 &       0,80 &      0,147 &   4,70E-04 \\
        27 &       0,05 &      19,08 &       0,79 &     430,57 &       0,80 &      0,253 &   4,70E-04 \\
      34,5 &       0,05 &      26,58 &       0,79 &     599,81 &       0,80 &      0,352 &   4,70E-04 \\
      41,1 &       0,05 &      33,18 &       0,79 &     748,74 &       0,80 &      0,439 &   4,70E-04 \\
     49,05 &       0,05 &      41,13 &       0,79 &     928,13 &       0,80 &      0,544 &   4,70E-04 \\
     56,85 &       0,05 &      48,93 &       0,79 &    1104,14 &       0,80 &      0,648 &   4,70E-04 \\
        66 &       0,05 &      58,08 &       0,79 &    1310,61 &       0,80 &      0,769 &   4,70E-04 \\
     72,95 &       0,05 &      65,03 &       0,79 &    1467,44 &       0,80 &      0,861 &   4,70E-04 \\
      80,1 &       0,05 &      72,18 &       0,79 &    1628,78 &       0,80 &      0,955 &   4,70E-04 \\
     86,95 &       0,05 &      79,03 &       0,79 &    1783,35 &       0,80 &      1,046 &   4,70E-04 \\
     94,15 &       0,05 &      86,23 &       0,79 &    1945,82 &       0,80 &      1,141 &   4,70E-04 \\
     100,8 &       0,05 &      92,88 &       0,79 &    2095,88 &       0,80 &      1,229 &   4,70E-04 \\
    107,45 &       0,05 &      99,53 &       0,79 &    2245,93 &       0,80 &      1,317 &   4,70E-04 \\
    113,95 &       0,05 &     106,03 &       0,79 &    2392,61 &       0,80 &      1,403 &   4,70E-04 \\
    121,85 &       0,05 &     113,93 &       0,79 &    2570,87 &       0,80 &      1,508 &   4,70E-04 \\
    129,05 &       0,05 &     121,13 &       0,79 &    2733,34 &       0,80 &      1,603 &   4,70E-04 \\
    136,15 &       0,05 &     128,23 &       0,79 &    2893,55 &       0,80 &      1,697 &   4,70E-04 \\
    144,45 &       0,05 &     136,53 &       0,79 &    3080,84 &       0,80 &      1,807 &   4,70E-04 \\
    151,95 &       0,05 &     144,03 &       0,79 &    3250,08 &       0,80 &      1,906 &   4,70E-04 \\
    159,35 &       0,05 &     151,43 &       0,79 &    3417,06 &       0,80 &      2,004 &   4,70E-04 \\
    166,85 &       0,05 &     158,93 &       0,79 &    3586,30 &       0,80 &      2,103 &   4,70E-04 \\
     174,9 &       0,05 &     166,98 &       0,79 &    3767,95 &       0,80 &      2,210 &   4,70E-04 \\
     182,6 &       0,05 &     174,68 &       0,79 &    3941,70 &       0,80 &      2,312 &   4,70E-04 \\
    190,25 &       0,05 &     182,33 &       0,79 &    4114,33 &       0,80 &      2,413 &   4,70E-04 \\
     192,3 &       0,05 &     184,38 &       0,79 &    4160,59 &       0,80 &      2,440 &   4,70E-04 \\
\end{tabular}  
\end {table}
\begin {table} \caption{$Tl$-Spektrum; Tabelle 2/2}
\begin{tabular}{cccccccccc}
  $\epsilon $& $\Delta \epsilon$ &         $N^{\ast}$ &  $\Delta N^{\ast}$ &$ N^{\ast} / U^{\ast} $& $\Delta N^{\ast} / U^{\ast}$ &     $ F(Z,\epsilon)$ & $\Delta F(Z,\epsilon)$ &        $  Y$ &  $ \Delta Y $\\
\hline
     1,001 &  -1,88E-05 &        0,2 &       1,54 &      -0,07 &       0,51        &    187,283 &   1,28E-08 &      0,094 &   3,60E-01 \\
     1,001 &   2,32E-05 &        0,2 &       1,54 &       0,05 &       0,41        &    185,775 &   1,29E-08 &      0,076 &   2,94E-01 \\
     1,011 &   6,82E-05 &        0,2 &       1,54 &       0,02 &       0,14        &    155,635 &   1,68E-08 &      0,028 &   1,07E-01 \\
     1,031 &   1,15E-04 &        0,2 &       1,54 &       0,01 &       0,08        &    111,371 &   2,96E-08 &      0,019 &   7,30E-02 \\
     1,060 &   1,56E-04 &       -0,8 &       1,17 &      -0,03 &       0,04        &     78,915 &   6,42E-08 &     NAN&     NAN\\
     1,092 &   1,89E-04 &        1,2 &       1,83 &       0,04 &       0,06        &     61,622 &   1,44E-07 &      0,035 &   2,67E-02 \\
     1,139 &   2,25E-04 &       -0,8 &       1,17 &      -0,02 &       0,03        &     50,422 &   3,45E-07 &     NAN&     NAN\\
     1,191 &   2,55E-04 &        2,2 &       2,09 &       0,04 &       0,04        &     44,242 &   5,30E-07 &      0,036 &   1,72E-02 \\
     1,261 &   2,86E-04 &        9,2 &       3,37 &       0,16 &       0,06        &     39,136 &   6,78E-07 &      0,065 &   1,18E-02 \\
     1,319 &   3,07E-04 &       30,2 &       5,69 &       0,46 &       0,09        &     35,929 &   7,96E-07 &      0,107 &   1,01E-02 \\
     1,383 &   3,25E-04 &       59,2 &       7,83 &       0,82 &       0,11        &     33,062 &   9,41E-07 &      0,137 &   9,10E-03 \\
     1,447 &   3,40E-04 &      136,2 &      11,76 &       1,72 &       0,15        &     30,695 &   1,11E-06 &      0,193 &   8,37E-03 \\
     1,517 &   3,53E-04 &     2625,2 &      51,26 &      30,44 &       0,66        &     28,585 &   1,33E-06 &      0,784 &   8,47E-03 \\
     1,585 &   3,65E-04 &     3151,2 &      56,15 &      33,93 &       0,67        &     26,953 &   1,59E-06 &      0,804 &   7,95E-03 \\
     1,654 &   3,74E-04 &     3245,2 &      56,99 &      32,60 &       0,63        &     25,591 &   1,90E-06 &      0,765 &   7,38E-03 \\
     1,723 &   3,83E-04 &     3261,2 &      57,13 &      30,76 &       0,59        &     24,489 &   2,27E-06 &      0,721 &   6,87E-03 \\
     1,809 &   3,92E-04 &     3174,2 &      56,36 &      27,86 &       0,53        &     23,410 &   2,83E-06 &      0,660 &   6,30E-03 \\
     1,889 &   3,99E-04 &     2819,2 &      53,12 &      23,27 &       0,46        &     22,633 &   3,49E-06 &      0,583 &   5,81E-03 \\
     1,970 &   4,05E-04 &     2334,2 &      48,34 &      18,20 &       0,39        &     22,024 &   4,29E-06 &      0,497 &   5,37E-03 \\
     2,065 &   4,11E-04 &     1686,2 &      41,09 &      12,35 &       0,31        &     21,472 &   5,51E-06 &      0,393 &   4,92E-03 \\
     2,153 &   4,16E-04 &     1127,2 &      33,61 &       7,83 &       0,24        &     21,091 &   6,92E-06 &      0,301 &   4,56E-03 \\
     2,240 &   4,21E-04 &      564,2 &      23,80 &       3,73 &       0,16        &     20,800 &   8,70E-06 &      0,200 &   4,25E-03 \\
     2,329 &   4,24E-04 &      185,2 &      13,69 &       1,17 &       0,09        &     20,573 &   1,10E-05 &      0,108 &   3,98E-03 \\
     2,426 &   4,28E-04 &       22,2 &       4,94 &       0,13 &       0,03        &     20,388 &   1,42E-05 &      0,035 &   3,88E-03 \\
     2,519 &   4,31E-04 &       10,2 &       3,52 &       0,06 &       0,02 &            20,255 &   1,82E-05 &      0,022 &   3,83E-03 \\
     2,612 &   4,34E-04 &       11,2 &       3,66 &       0,06 &       0,02        &     20,155 &   2,34E-05 &      0,022 &   3,59E-03 \\
     2,637 &   4,35E-04 &       10,2 &       3,52 &       0,06 &       0,02        &     20,133 &   2,50E-05 &      0,021 &   3,56E-03 \\
\end{tabular}  
\end {table}

\end {document}