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\author {Henning Schories und Philipp Spiekermann}
\title {E 213 : Analyse von Z$^{0}$ Zerf"allen}
\date {17.04.2006}
\begin{document}
\maketitle
\vspace {4cm}
\tableofcontents 
\newpage
\section {Versuchsziel}
In diesem Versuch werden Ereignisdaten ausgewertet, welche mit dem OPAL-Detektor am Large Electron Positron Collider des 
CERN gewonnen wurden. 
Dabei wurden Elektronen und Positronen in einem Speicherring gegenl"aufig beschleunigt und 
Ereignisse am Treffpunkt durch den Detektor aufgezeichnet. 

Im ersten Teil des Versuchs standen nach Zerfallskan"alen eingeteilte Ereignisse zur Vef"ugung anhand derer die 
Signaturen der verschiedenen Kan"ale verdeutlicht wurden und man erste Schnittkriterien zur Unterscheidung der Kan"ale
 entwickelte.
 
In einem zweiten Teil wurden diese Kriterien auf eine gr"o"sere simulierte Datenmenge angewendet und die 
Schnittkriterien verfeinert.
Zu guter letzt wurden die so erarbeiteten Schnittkriterien auf eine gro"se Menge realer Daten des OPAL-Detektors angewendet 
und mit den so erhaltenen Ereignissen pro Kanal die Masse und Breite der Z$^{0}$-Resonanz sowie der Weinbergwinkel bestimmt.

\section {Voraufgaben}
\subsection{Zerfallsbreiten}
Zur Berechnung der Zerfallsbreiten verschiedener Fermionenpaare $f$ kann folgende Formel herangezogen werden:
\begin {equation} \label{Partial}
\Gamma_{f} = \frac{N_{c}^{f}\sqrt{2}}{12 \pi} \cdot G_{F} \cdot M_{Z}^{3}\: [ ( g_{V}^{f})^{2}+(g_{A}^{f})^{2}]
\end {equation}
Hierbei ist $N_{c}^{f}$ der Farbfaktor (1 f"ur Leptonen, 3 f"ur Quarks), $G_{F}$ die Fermi-Konstante 
($=1,663\cdot10^{-5}\,$GeV$^{-2}$), $M_{Z} = 91,182\,GeV$ ist die Masse des $Z^{0}$-Bosons und $g_{V}^{f}$ sowie $g_{A}^{f}$ 
sind die Kopplungskonstanten, welche sich mithilfe des Weinbergwinkels berechnen lassen.
\begin {table} [h,t]  \centering
\begin{tabular}{l|c|c}
 Partialbreiten     &   berechnete [MeV] &   theoretische/Skript [MeV] \\
\hline
   $ \Gamma_{e}=\Gamma_{\mu}=\Gamma_{\tau}=\Gamma_{l}$ & 83,4 & 83,8 \\
\hline
$\Gamma_{\nu_{e}}=\Gamma_{\nu_{\mu}}=\Gamma_{\nu_{\tau}}=\Gamma_{\nu}$ & 165,8 & 167,6 \\
\hline
$\Gamma_{u}=\Gamma_{c}=\Gamma_{t} $& 285,3 & 299 \\
\hline
$\Gamma_{d}=\Gamma_{s}=\Gamma_{b}$ & 367,8 & 378 \\
\end{tabular}  \caption {Partialbreiten}\label {Part}
\end {table} 
Die berechneten Partialbreiten sind in Tabelle \ref{Part} aufgef"uhrt und werden dort mit den 
Literaturwerten aus dem Skript verglichen.
Die Literaturwerte sind alle ein wenig gr"o"ser, da Gleichung \ref{Partial} eine Born'sche N"aherung ist, in der Terme h"oherer
 Ordnung vernachl"assigt wurden.
Die Gesamtzerfallsbreite setzt sich nun wie folgt zusammen:
$$
\Gamma_{Z} = 3 \Gamma_{\nu} + 3 \Gamma_{l} + 2 \Gamma_{u,c} + 3 \Gamma_{d,s,b} = 2,422\,\textnormal{GeV}
$$
Die Partialbreite f"ur das top-Quark tr"agt nicht zur Gesamtbreite bei, da es aufgrund seiner hohen Masse durch ein 
$Z_{0}$-Boson nicht erzeugt werden kann.
Die Gesamtzerfallsbreite kann nun nach den Endzust"anden in eine hadronische, geladene sowie neutrale Breite unterteilt werden.
$$
\Gamma_{hadronisch}= 2 \Gamma_{u,c} + 3 \Gamma_{d,s,b} = 1,674 \, \textnormal{GeV}  \qquad 
\Gamma_{geladen} = 3 \Gamma_{l} = 0,250\, \textnormal{GeV} $$ $$
\Gamma_{neutral} = 3 \Gamma_{\nu} = 0,498\, \textnormal{GeV}
$$
\subsection{Partielle Wirkungsquerschnitte am Resonanzmaximum}
Am Resonanzmaximum, d.h. f"ur den Fall $s=M_{Z}^{2}$ k"onnen die partiellen Wirkungsquerschnitte wie folgt berechnet werden:
\begin {equation} \label {partf}
\sigma_{f}^{peak}=\frac{12\pi}{M_{Z}^{2}}\cdot\frac{\Gamma_{e}}{\Gamma_{Z}}\cdot \frac{\Gamma_{f}}{\Gamma_{Z}}
\end {equation}
\hspace{5cm}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
$\sigma$ in [nb] & $e,\mu,\tau$ & $\nu$ & $u,c$ & $ d,s,b$ \\ 
\hline
$\sigma_{berechnet}^{peak}$ & 1,99 & 4,01 & 7,13 & 9,03 \\
$\sigma_{literatur}^{peak}$ & 2,09 & 4,16 & 7,16 & 9,24 \\
\end{tabular}
\subsection {"Anderung der Resonanzbreite}
W"urden nun weitere Teilchen existieren, so g"abe es auch entsprechende Endzust"ande und somit eine gr"o"sere Partialbreite.
Die folgende Tabelle listet die bei der Existenz eines weiteren Teilchens erwartete Partialbreite und eine
 prozentuale Abweichung $\Delta\:\Gamma_{Z}$ von der normalerweise erwarteten Partialbreite auf.\\ .
 \hspace{3,5cm}
 \begin {tabular} {c|c|c|c|c}
 \centering
 & $\#_{u,c} = 3$ & $\#_{d,s,b}= 4$ & $\#_{l}=4$ & $\#_{\nu}=4$ \\
 \hline
 $\Gamma_{Z} [GeV]$ & 2,7070 & 2,7895 & 2,5051 & 2,5875 \\
 $\Delta\: \Gamma_{Z} [\% ]$ & 11,78 & 15,18 & 3,44 & 6,84 \\
 \end {tabular}
\subsection {Winkelverteilung}
Bei Ereignissen mit zwei Elektronen im Endzustand kann man in niedrigster Ordnung der St"orungstheorie (nur zwei 
Vertizes im Feynman-Graphen) zwei Zerfallsk"an"ale unterscheiden: den s- und den t-Kanal (Annihilations- und Streu-Kanal).
Der differentielle Wirkungsquerschnitt dieser beiden Kan"ale weist unterschiedliche Verteilungen unter dem Streuwinkel
 $\Theta$ auf:
$$
\biggl( \frac{\textnormal{d} \sigma}{\textnormal{d}\Omega} \biggr)_{s-Kanal} \propto (1+cos^{2}\Theta) \quad ; \quad
\biggl( \frac{\textnormal{d} \sigma}{\textnormal{d}\Omega} \biggr)_{t-Kanal} \propto \frac 1 {(1- cos\Theta)^{2}}
$$
\begin{figure} [hbtp]
\centering
\subfigure[s-Kanal]{ \includegraphics [width=6cm]{s}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[t-Kanal]{\includegraphics[width=6cm]{t}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[s- + t-Kanal]{ \includegraphics[width=7cm]{s+t}}
\caption{s- und t-Kanal Winkelverteilung}\label{kanal}
\end{figure}
Die erwarteten Verteilungen f"ur s- und t-Kanal Streuung sowie die "Uberlagerung von beiden Kan"alen ist in der 
Abbildung \ref{kanal} dargestellt. Dabei wurde das in den Datens"atzen als Variable angegebene 
$cos\Theta$ als Variable verwendet. 
Bei Ereignissen mit $\mu^{+}$ und $\mu^{-}$ im Endzustand liegt nur s-Kanal Annihilation vor. Die Winkelverteilung
 von diesem Prozess ist also in Abbildung \ref{kanal}.a dargestellt.

\subsection{Vorw"arts-R"uckw"arts-Asymmetrie}
Der Winkel zwischen dem $e^{+}$ und dem $\mu^{+}$ kann gemessen und untersucht werden. 
Da in diesem Proze"s die schwache Wechselwirkung eine Rolle spielt kann eine Asymmetrie beobachtet werden.
In Bornscher N"aherung gilt f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt:
$$
\frac{\textnormal{d}\sigma_{\mu}}{\textnormal{d}\Omega} \propto F_{1}(s) \cdot ( 1+ cos\Theta)+2F_{2}(s)\cdot cos\Theta
$$
Wobei $F_{1,2}$ ein von der Schwerpunktsenergie $\sqrt{s}$ abh"angiger Faktor ist, welcher sich unter anderem mithilfe 
des Weinbergwinkels berechnen l"asst.
Die Asymmetrie kann durch den folgenden Asymmetriefaktor ausgedr"uckt werden:
$$
A_{FB}^{f}=\frac{\int_{0}^{1}\frac{\textnormal{d}\sigma}{\textnormal{d}cos\Theta}\textnormal{d}cos\Theta -
\int_{-1}^{0}\frac{\textnormal{d}\sigma}{\textnormal{d}cos\Theta}\textnormal{d}cos\Theta}
{\int_{0}^{1}\frac{\textnormal{d}\sigma}{\textnormal{d}cos\Theta}\textnormal{d}cos\Theta+
\int_{-1}^{0}\frac{\textnormal{d}\sigma}{\textnormal{d}cos\Theta}\textnormal{d}cos\Theta} = \frac 3 4 \: \frac {F_{2}}{F_{1}}
$$
\begin {table} [h] 
\centering
\begin {tabular} {c|c|c|c}
& $\sqrt{s}=89,225 $& $\sqrt{s}=91,225$ & $\sqrt{s}=93,225$ \\
\hline
$sin^{2}\Theta_{W}=0,21$&-0,0959&0,0769&0,2369\\
$sin^{2}\Theta_{W}=0,23$&-0,1684&0,0229&0,2017\\
$sin^{2}\Theta_{W}=0,25$&-0,2008&0,0043&0,1963\\
\end {tabular}\caption{$A_{FB}^{f}$-Werte f"ur verschiedene Energien und Weinbergwinkel}\label{weinb}
\end {table} 
Der Asymmetrie-Faktor zu verschiedenen quadrierten Sinuswerten des Weinbergwinkels und der Strahlenergie
 ist in Tabelle \ref{weinb} aufgelistet.

\section{Analyse von Ereignissen am Bildschirm}
Zu Beginn des Versuches sollten mithilfe von Lern-Datens"atzen die verschiedenen Endzust"ande nach ihren
 charakteristischen Eigenschaften, d.h. nach ihren unterschiedlichen Eintr"agen in den Kalorimetern sowie ihren 
Spuren in der Jetkammer, erkannt werden. Daf"ur standen Datens"atze aus jeweils reinen Elektronen (ee), Myonen ($\mu\mu$),
 Taus ($\tau\tau$) und Hadronen (qq) -Endzust"ande zur Verf"ugung. 
 
Das Programm GROPE zeichnete dabei die Jetkammerspuren nach, markierte die 
Orte, an denen ein Kalorimeter einen Teilchendurchgang gemessen hatte mit je nach gemessener Energie gr"o"seren oder 
kleineren K"astchen und stellte eine Seitenansicht zur Verf"ugung, wodurch auch man auch nicht zum Ereignis geh"orende
 Spuren als solche erkennen konnte. Folgende gemessenen Variablen wurden ebenfalls von GROPE angezeigt:
 die Energie und Anzahl der geladenen Spuren in der Jetkammer, sowie die im elektromagnetischen und im
 hadronischen Kalorimeter deponierten Energie (Ecal(SumE) und Hcal(SumE)).

\subsection {Beispielhafte Ereignisse}
\begin{figure} [hbtp] 
\centering
\subfigure[Elektronen-Ereignis]{\label {ee} \includegraphics [width=8cm]{ee}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[Myonen-Ereignis]{ \label {mm}\includegraphics[width=8cm]{mm}}
\caption {Beispielhafte Ereignisse}
\end {figure}
\begin {figure} [hbtp] 
\centering
\subfigure[Tau Ereignis]{\label {tt} \includegraphics [width=8cm]{tt}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[hadronisches Ereignis]{\label {qq} \includegraphics[width=8cm]{qq}}
\caption {Beispielhafte Ereignisse}
\end{figure}
Ein typisches Ereignis mit \textbf{Elektronen} im Endzustand kann in Abb. \ref{ee} bewundert werden. 
Da bei einem ee-Ereignis ausser den 2 Elektronen in der Regel keine weiteren geladenen Teilchen erzeugt werden, ist die
Anzahl der geladenen Spuren gleich 2. Aufgrund von Energie und Impulserhaltung bewegen sich die beiden 
Elektronen nach dem Sto"s/der Annihilation in einem Winkel von $180^{\circ}$ auseinander. 
Lediglich ein eventuell abgestrahltes Photon st"ort ab und zu diese Geometrie.
Fast die gesamte Schwerpunktsenergie wird bei diesem Ereignis auf die Elektronen "ubertragen, weswegen fast die gesamte 
Schwerpunktsenergie im elektromagnetischen Kalorimeter und in der Jetkammer nachgewiesen wird. 
Es sollte keine Eintr"age im hadronischen bzw. myonischen Kalorimeter geben.
 
Abbildung \ref{mm} zeigt ein typisches Ereignis mit \textbf{Myonen} im Endzustand.
Auch hier kann man aus den gleichen Gr"unden wie bei einem Elektronen Ereignis zwei entgegengesetzte Spuren erkennen.
Da Myonen jedoch nur schwach ionisierend sind, wurden in den Kalorimetern nur wenig Energie gemessen.
Daf"ur jedoch zeigt das myonische Kalorimeter zwei gegen"uberliegende, mit den Spuren der Jetkammer "ubereinstimmende
Spuren an (rote Pfeile).

Ein \textbf{Tau} Ereignis ist in Abb. \ref{tt} zu sehen.
Da ein Tau eine sehr kurze Lebenszeit nur aufweist, zerf"allt es bereits in der Jetkammer und erzeugt dabei mehrere
geladene Spuren, welche je nach Anzahl als 1- oder 3-prong Zerf"alle bezeichnet werden. 
Ein f"unf-prong oder sogar noch mehr geladene Spuren sind dabei jedoch sehr selten.
Bei einem Tau-Zerfall k"onnen einige Neutrinos erzeugt werden, welche aufgrund ihrer geringen Wechselwirkung mit Materie 
kaum detektiert werden und dadurch die Energie in der Jetkammer und den Kalorimetern um einiges geringer als die 
Schwerpunktsenergie ist.

Als letztes kommen die \textbf{hadronischen} Endzust"ande in Betracht (Abb. \ref{qq}).
Werden bei dem Zusammensto"s zweier Elektronen Quarks erzeugt, so verursacht das Confinement die Erzeugung weiterer 
Quarks wobei auch einige Gluonen abgestrahlt werden k"onnen, welche wiederum neue Quarks erzeugen k"onnen.
Am Ende eines solchen Hadronisierungsproze"s sind viele geladene Spuren von stabileren Hadronen in der Jetkammer 
zu beobachten. (Leider wurde unser Beispielbild f"ur dieses Ereignis beim Neubespielen eines Computers versehentlich gel"oscht.
Wir verwendeten stattdessen ein Bild aus dem Protokoll von Christian Sandow und Iris Rottl"ander aus dem SS 2003 
zum selben Versuch)




\subsection {Ermitteln von Schnittkriterien}

\begin {table} \centering 

\begin{tabular}{ccc|cccc}  

 &       Run  &      Event &  P charged &  N charged &      E Cal &      H Cal \\
\hline
         1 &       2566 &     163733 &       50,9 &          2 &       82,6 &          0 \\

         2 &       2566 &     165523 &       91,9 &          2 &       90,0 &          0 \\

         3 &       2566 &     165548 &       82,5 &          3 &       92,3 &          0 \\

         4 &       2566 &     165576 &       80,9 &          2 &       86,8 &          0 \\

         5 &       2566 &     166436 &       38,1 &          2 &       89,5 &          0 \\

         6 &       2566 &     167987 &       83,8 &          2 &       87,5 &          0 \\

         7 &       2567 &     168389 &       87,4 &          2 &       93,2 &          0 \\

         8 &       2568 &     170045 &       69,3 &          2 &       90,7 &          0 \\

         9 &       2569 &     170379 &       86,1 &          2 &       89,4 &        0,5 \\

        10 &       2570 &     197594 &       90,3 &          2 &       90,6 &          0 \\

        11 &       2571 &     197889 &       92,1 &          2 &       88,5 &        0,5 \\

        12 &       2570 &      28178 &       81,7 &          3 &       91,6 &          0 \\

        13 &       2571 &      28499 &       89,6 &          2 &       92,5 &          0 \\

        14 &       2572 &      28743 &       61,1 &          2 &       89,2 &          0 \\

        15 &       2573 &      28777 &       88,4 &          3 &       89,1 &          0 \\

        16 &       2574 &      88224 &       90,9 &          2 &       90,5 &        0,3 \\

        17 &       2575 &      90060 &       64,6 &          2 &       88,8 &          0 \\

        18 &       2576 &      91274 &       95,6 &          2 &       96,2 &          0 \\

        19 &       2571 &     418921 &       93,0 &          2 &       90,8 &          0 \\

        20 &       2572 &     420590 &       94,1 &          2 &       89,2 &          0 \\

\end{tabular}  \caption{Lerndatensatz mit Elektronen Ereignissen}\label {rein1}

\begin{tabular}{ccc|cccc}

 &       Run  &      Event &  P charged &  N charged &      E Cal &      H Cal \\
\hline
         1 &       2566 &     170371 &       74,0 &          5 &       51,1 &       10,2 \\

         2 &       2567 &     170508 &       46,5 &          2 &       17,3 &        8,2 \\

         3 &       2568 &     179750 &       30,8 &          2 &        1,6 &        6,3 \\

         4 &       2569 &     184010 &       29,5 &          2 &       10,2 &        4,1 \\

         5 &       2570 &     184435 &       33,1 &          2 &       10,2 &        4,1 \\

         6 &       2571 &     189056 &       24,4 &          2 &       12,4 &       11,7 \\

         7 &       2572 &     208314 &       36,0 &          4 &       16,1 &        5,7 \\

         8 &       2573 &     212745 &       41,3 &          2 &       11,1 &       20,0 \\

         9 &       2570 &      29664 &       49,7 &          2 &        5,2 &       20,3 \\

        10 &       2571 &      30348 &       33,4 &          2 &       23,6 &        6,9 \\

        11 &       2572 &      34612 &       14,1 &          2 &        3,3 &        6,3 \\

        12 &       2573 &      39992 &       19,7 &          2 &       15,9 &        3,8 \\

        13 &       2574 &      42200 &       26,8 &          2 &       16,5 &        3,4 \\

        14 &       2575 &      45609 &       23,4 &          5 &       27,0 &       17,1 \\

        15 &       2576 &      47033 &       23,8 &          2 &       29,4 &        3,6 \\

        16 &       2572 &      98915 &       39,0 &          2 &       18,9 &        4,4 \\

        17 &       2573 &     102412 &       24,1 &          2 &       46,5 &        7,3 \\

        18 &       2574 &     108411 &       35,3 &          2 &       51,8 &        2,3 \\

        19 &       2575 &     109621 &       17,8 &          2 &        2,5 &        5,0 \\

\end{tabular}  \caption {Lerndatensatz mit Tau-Ereignissen}
\end {table}
\begin {table} \centering 
\begin{tabular}{ccc|cccc}

&       Run  &      Event &  P charged &  N charged &      E Cal &      H Cal \\
\hline
         1 &       2568 &      80617 &       90,1 &          2 &        1,6 &        7,0 \\

         2 &       2568 &      84297 &       93,0 &          2 &        1,6 &        8,7 \\

         3 &       2568 &      85398 &       96,8 &          2 &        2,0 &        0,0 \\

         4 &       2568 &      87693 &       89,1 &          2 &        2,3 &        8,5 \\

         5 &       2568 &      89929 &       90,5 &          2 &        1,5 &        7,2 \\

         6 &       2568 &      91048 &       91,8 &          2 &        1,8 &        4,3 \\

         7 &       2568 &      92681 &       86,3 &          2 &        3,7 &        3,3 \\

         8 &       2568 &      93199 &       99,2 &          2 &        1,3 &        2,9 \\

         9 &       2568 &      95202 &       88,2 &          2 &        1,6 &        3,0 \\

        10 &       2568 &      99962 &       90,9 &          2 &        1,3 &        6,7 \\

        11 &       2568 &     100566 &       95,6 &          2 &        2,5 &        6,1 \\

        12 &       2568 &     100721 &       75,3 &          2 &        3,1 &        6,8 \\

        13 &       2568 &     102167 &       85,2 &          2 &        5,8 &        4,4 \\

        14 &       2568 &     105720 &       98,6 &          2 &        3,6 &        5,7 \\

        15 &       2568 &     106346 &       86,8 &          2 &        1,9 &        7,9 \\

        16 &       2568 &     107030 &       98,0 &          2 &        1,9 &        2,0 \\

        17 &       2568 &     107772 &      108,3 &          2 &        2,0 &        8,5 \\

        18 &       2568 &     108553 &       92,4 &          2 &        3,6 &        6,7 \\

        19 &       2568 &     110610 &       92,0 &          2 &        1,9 &       22,6 \\

        20 &       2570 &      29023 &       92,6 &          2 &        3,6 &        5,7 \\

\end{tabular}  \caption{Lerndatensatz mit Myon-Ereignissen}

\begin{tabular}{ccc|cccc} 

 &       Run  &      Event &  P charged &  N charged &      E Cal &      H Cal \\
\hline
         1 &       2566 &     164184 &       37,7 &         15 &       37,0 &       14,1 \\

         2 &       2566 &     195995 &       39,2 &         17 &       66,8 &        9,9 \\

         3 &       2566 &     196117 &       64,6 &         46 &       53,0 &       13,0 \\

         4 &       2566 &     196548 &       33,3 &          8 &       67,5 &       13,3 \\

         5 &       2568 &      78191 &       45,3 &         36 &       35,2 &        7,7 \\

         6 &       2568 &      78425 &       59,9 &         41 &       53,2 &       13,8 \\

         7 &       2568 &      78553 &       21,9 &          9 &       65,2 &        8,8 \\

         8 &       2568 &      78787 &       55,9 &         16 &       50,4 &       24,3 \\

         9 &       2568 &      79038 &       38,1 &         30 &       68,3 &       13,8 \\

        10 &       2568 &      79043 &       34,4 &         22 &       75,5 &        6,2 \\

        11 &       2568 &      79181 &       51,2 &         36 &       62,3 &        5,5 \\

        12 &       2568 &      79337 &       63,1 &         23 &       56,0 &       17,2 \\

        13 &       2568 &      79487 &       59,0 &         23 &       60,6 &        8,5 \\

        14 &       2568 &      79517 &       62,2 &         26 &       67,2 &       20,4 \\

        15 &       2568 &      79642 &       43,3 &         30 &       71,7 &        4,3 \\

        16 &       2570 &      88252 &       47,8 &         40 &       61,4 &        5,7 \\

        17 &       2570 &      88262 &       67,9 &         19 &       52,1 &       10,6 \\

        18 &       2570 &      88303 &       52,1 &         14 &       61,0 &        4,4 \\

        19 &       2570 &      88328 &       82,6 &         29 &       53,8 &       16,4 \\

\end{tabular}  \caption {Lerndatensatz mit hadronischen Ereignissen}\label {rein2}
 \end {table}
\begin{figure} [hbtp] 
\centering
\subfigure[Pcharged]{\label{Pcharged} \includegraphics [width=8cm]{Pcharged}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[Ncharged]{\label{Ncharged} \includegraphics[width=8cm]{Ncharged}}
\caption {Histogramme aus den Lerndatens"atzen}\label {Histo1}
\end {figure}
\begin {figure} [hbtp]
\centering
\subfigure[Ecal]{\label{Ecal} \includegraphics [width=8cm]{Ecal}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[Hcal]{\label{Hcal} \includegraphics[width=8cm]{Hcal}}
\caption {Histogramme aus den Lerndatens"atzen} \label {Histo2}
\end{figure}
 
 Als n"achstes schauten wir uns die Lerndatens"atze an und
 tabellierten die Kenngr"o"sen zu den jeweiligen Endzust"anden/Ereignissen (siehe Tab.\ref{rein1} bis \ref{rein2}),
 fertigten dazu Histogramme an (siehe Abb.\ref{Histo1} und \ref{Histo2}), um daraus sinnvolle Schnittkriterien 
zu entwickeln. 
Bei dem Pcharged- und ECal-Histogramm z"ahlten wir dabei die Anzahl der Ereignisse f"ur die Werte von 0-20, 
von 20-40, usw. zusammen; bei Ncharged bzw. HCal verwendeten wir f"unfer bzw. dreier Schritte.

Anhand der Tabellen war es nun leicht Schnittkriterien aufzustellen:
\begin {itemize}
\item hadronische Endzust"ande (qq-Ereignisse) 

 Ncharged $>$ 6
 
\item Tau Endzust"ande ($\tau\tau$-Ereignisse) 

 Ncharged $\leq$ 6 \quad Trennung von qq-Ereignissen
 
 Pcharged $<$ 75 \quad Trennung von $\mu\mu$-Ereignissen

 Ecal $<$ 80 \quad Trennung von ee-Ereignissen
 
\item myonische Endzust"ande ($\mu\mu$-Ereignisse) 

 Ncharged $\leq$ 6 \quad Trennung von qq-Ereignissen
 
 Pcharged $\geq$ 75 \quad Trennung von $\tau\tau$-Ereignissen
 
 Ecal $<$ 80 \quad Trennung von ee-Ereignissen
 
\item Elektronen Endzust"ande (ee-Ereignisse)

 Ncharged $\leq$ 6 \quad Trennung von qq-Ereignissen
 
 Ecal $\geq$ 80 \quad Trennung von $\mu\mu$- und $\tau\tau$-Ereignissen
\end {itemize}
\begin{table} 
% Table generated by Excel2LaTeX from sheet 'test4'
\begin{tabular}{ccc|cccccc}

  Nr. &       Run  &      Event &  Pcharged &  Ncharged &      Ecal &      Hcal & Ereignis gemäß &Ereignis gem"a"s    \\

           &            &            &            &            &            &            & Betrachtung & Schnittkriterien \\
\hline
         1 &       4353 &       5386 &       95,7 &          2 &       93,4 &          0 &         ee &         ee \\

         2 &       4353 &       5625 &       56,3 &         20 &       54,1 &        9,5 &         qq &         qq \\

         3 &       4353 &       6696 &       36,5 &          4 &       35,8 &       10,8 &         $\tau\tau$ & $\tau\tau$ \\

         4 &       4353 &       6833 &       31,9 &         21 &       71,6 &        4,7 &         qq &         qq \\

         5 &       4353 &       8185 &       61,4 &         28 &       51,2 &       19,1 &         qq &         qq \\

         6 &       4353 &       9026 &       38,4 &         34 &       50,1 &       11,4 &         qq &         qq \\

         7 &       4353 &      10812 &       96,3 &          2 &        2,1 &        4,2 &   $\mu\mu$ & $\mu\mu$\\

         8 &       4353 &      11994 &       47,4 &         24 &       65,9 &        5,1 &         qq &         qq \\

         9 &       4353 &      12069 &         41 &          4 &       17,2 &       13,9 &   $\tau\tau$&    $\tau\tau$ \\

        10 &       4353 &      18528 &       94,2 &          4 &        1,3 &        8,3 &   $\mu\mu$ &   $\mu\mu$ \\

        11 &       4353 &      19849 &       33,2 &          5 &       54,2 &        0,6 &  $\tau\tau$&   $\tau\tau$\\

        12 &       4353 &      20150 &       83,1 &          2 &       95,7 &        0,5 &         ee &         ee \\

        13 &       4353 &      25256 &       80,4 &          3 &       90,9 &          0 &         ee &         ee \\

        14 &       4353 &      26339 &       88,7 &          2 &        2,2 &        2,2 &  $\mu\mu$& $\mu\mu$ \\

        15 &       4353 &      26422 &       91,5 &          2 &        1,8 &        3,5 &  $\mu\mu$&  $\mu\mu$ \\

        16 &       4353 &      26475 &       31,2 &          4 &       32,8 &          2 &   $\tau\tau$ & $\tau\tau$ \\

        17 &       4353 &      31892 &       86,5 &          2 &       91,2 &          0 &         ee &         ee \\

        18 &       4353 &      32959 &       98,3 &          2 &       95,3 &          0 &         ee &         ee \\

        19 &       4353 &      39695 &       44,7 &          8 &       27,6 &       23,8 & $\tau\tau$&         qq \\

        20 &       4353 &      39985 &       88,5 &          2 &        1,4 &        5,2 &   $\mu\mu$&   $\mu\mu$\\

\end{tabular}  \caption{Zuordnung und Ereignisse im Testdatensatz 4}\label{test}
\end {table}
Mit diesen Schnittkriterien gelang es uns jedes Ereigniss der Lerndatens"atze korrekt zuzuordnen.
In einem weiteren Schritt wendeten wir diese Schnittkriterien auf einen 20 Ereignisse umfassenden Testdatensatz (test4) an.
Dazu betrachteten wir die GROPE-Ansichten der Ereignisse und ordneten sie einmal nach den Schnittkriterien und dann 
nach ''Augenma"s'' zu. Die Ergebnisse befinden sich in Tabelle \ref {test}.
\begin {figure} 
\centering
\includegraphics [width = 11cm] {test4-19s} \caption {Seitenansicht von Ereignis Nr. 19 des Testdatensatz}\label {19}
\end{figure} 
Es gelang alle Ereignisse bis auf einen (Nr.19) richtig zuzuordnen. Bei Ereignis Nummer 19 ist recht deutlich ein 3-prong zu beobachten, 
weswegen wir es als $\tau\tau$-Ereignis werteten. 
In der Seitenansicht (Abb. \ref {19}) sieht man den Grund f"ur die ungew"ohnlich hohe Anzahl von geladenen Spuren (Ncharged), 
und somit den Grund f"ur die falsche Einordnung durch die Schnittkriterien: Ein nicht mit von dem Ereignis erzeugtes Teilchen 
verursachte mehrere geladene Spuren. Das einige Spuren nicht zum Ereignis geh"oren, erkennt man daran, da"s sie nicht im 
Ursprung ($e^{+}-e^{-}$-Auftreffpunkt) beginnen, bzw. zum Ursprung hin ausgerichtet sind. 

\section {Statistische Auswertung von $Z^{0}$-Zerf"allen}
In diesem Teil optimieren wir unsere Schnitte mit Hilfe des Programm PAW und simulierten Daten aus einer Monte-Carlo Simulation.
Die ''G"ute'' unserer Schnitte dr"ucken wir durch eine Effizienz-Matrix aus.
Nach der Anwendung der Schnitte auf eine gro"se Datenmenge echter OPAL-Ereignisse, bereinigen wir die Schnittergebnisse 
mit der invertierten Effizienumatrix und berechnen daraus letzendlich die Masse und Breite des $Z^{0}$-Bosons, sowie die Partialbreiten.

\begin{figure} [hbtp] 
\centering
\subfigure[Pcharged]{ \includegraphics [width=8cm]{pch}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[Ncharged]{ \includegraphics[width=8cm]{nch}}
\subfigure[Ecal]{ \includegraphics [width=8cm]{eca}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[Hcal]{ \includegraphics[width=8cm]{hca}}
\caption {Histogramme der Monte-Carlo-Simulationsdaten ohne Schnitte}
\end{figure}


Die Daten der Monte-Carlo-Simulation sind nach den Ereignisklassen getrennt und zu einem Ereignis stehen diesmal sogar 
sieben Variablen zur Verf"ugung: neben den bekannten Variablen Ncharged, Pcharged, E\_Ecal und E\_Hcal gab es noch E\_Lep, Cos\_Thru 
und Cos\_Thet. 
E\_Lep gibt die Strahlenergie an (H"alfte der Schwerpunktsenergie), Cos\_Thet den Kosinus des Winkels zwischen den Impulsvektoren des eingestrahlten 
$e^{+}$ und des auslaufenden positiven Teilchen.
Mit Cos\_Thru wird der Kosinus des Winkels zwischen dem einlaufenden $e^{+}$ und dem "uber alle Spurkammern gemittelten
Gesamtimpulsvektor beschrieben.
In jeder Ereignisklasse standen theoretisch 100000 Ereignisse zur Verf"ugung, praktisch jedoch weniger.
 Einige Ereignisse wurden n"amlich bereits durch 
einen ''precut'' herausgefiltert, welcher auch an den echten OPAL-Daten durchgef"uhrt wurde. 

Mit dem Programm PAW k"onnen die unterschiedlichen Verteilungen einer Variablen zu den verschiedenen Ereignisklassen 
graphisch dargestellt werden, wodurch Schnittkriterien gut zu ermitteln sind.
Die Verteilung der Variablen nach einem Schnitt kann ebenfalls dargestellt werden.

\subsection {Schnitte und Effizienzmatrix}
\begin{figure} [hbtp] 
\centering
\includegraphics[width=8cm]{ethet}
\caption {Cos\_Thet Histogram der Monte-Carlo-Elektronen}\label {ethet}
\end{figure}
Da in einer t-Kanal-Streuung zweier Elektronen kein uns interessierendes $Z^{0}$-Boson erzeugt wird,
versuchen wir zuerst die t- und s-Kanal-Elektronen mit einem Schnitt voneinander zu trennen.
Aus den Voraufgaben wissen wir, da"s die t-Kanal-Elektronen f"ur eine Asymmetrie in der Variablen Cos\_Thet sorgen,
welche auch im Histogram (Abb. \ref{ethet}) gut erkennbar ist. Im dargestellten Histogram wurde dabei ein unphysikalischer 
Peak bei Cos\_Thet = 1000 bereits herausgefiltert, da Ereignisse, bei denen der $\Theta$-Winkel nicht bestimmt werden 
konnte, als Cos\_Thet = 1000 gewertet wurden.
Um die t-Kanal-Elektronen herauszufiltern, entscheiden wir uns f"ur einen Schnitt von Cos\_Thet $\geq$ -0,9 und
 Cos\_Thet $\leq$ 0,45 . 
Damit haben wir den f"ur die gew"unschte s-Kanal gegebenen symmetrischen Verlauf herausmaskiert. 
Da eine genaue Bestimmung des $\Theta$-Winkels bei kleinen Winkeln oft nicht gelingt (die Ereignisse finden dann
fast noch im Strahlrohr statt) und ein kleiner Winkel f"ur t-Kanal-Ereignisse sehr wahrscheinlich ist, haben wir die 
Ereignisse mit Cos\_Thet = 1000 ebenfalls herausmaskiert. 

Nach diesem Schnitt blieben 19597 von 93802 Ereignissen "ubrig.
Da wir diesen Schnitt ben"otigen um unsere mit dem $Z^{0}$-Boson zusammen auftretenden Elektronen Ereignisse zu selektieren,
haben wir nach diesem Schnitt eine neue Grundereignisanzahl von 19597 Ereignissen erzeugt, was bei der Berechnung der
Effizienzmatrix zu bedenken gilt.
\begin{figure} [hbtp] 
\centering
\includegraphics[width=8cm]{add}
\caption {Zum additiven Schnitt: E\_Ecal gegen E\_Hcal der Myonen}\label {add}
\end{figure}

Nun gingen wir daran mit weiteren Schnitten alle Ereignisse sauber voneinander zu trennen.
Durch die Histogramme konnte man sehr gut beobachten wie ein Schnitt auch in anderen Variablen wirkt, was half, 
die Schnitte zu optimieren.
Elektronen- und hadronische-Ereignisse konnten besonders gut durch die Variable Ncharged voneinander getrennt werden.
Ncharged half ebenfalls bei der Identifizierung der Tau-Ereignisse, Elektron- und Myonen-Ereignisse unterschieden 
sich in der Variablen E\_Ecal. Mit Hilfe von Pcharged konnten Tau- gegen Myon- und Elektronen Ereignisse getrennt werden,
 jedoch war die ''"Uberlappung'' von Myon- und Tau-Ereignissen noch zu gro"s.
Erst mit einem additiven Schnitt in E\_Ecal und E\_Hcal konnten Tau- und Myon-Ereignisse einigerma"sen getrennt werden
(siehe Abb. \ref {add}).
Unsere Schnittkriterien sahen dann wie folgt aus:
\begin {itemize}
\item Elektronen Ereignisse (ee)

Ncharged $<$ 6 \qquad 75$<$ Pcharged  \qquad  45$<$ E\_Ecal \qquad -0,9 $\leq$ Cos\_Thet $\leq$ 0,45

\item Myon Ereignisse ($\mu\mu$)

Ncharged $\leq$ 6 \qquad  75$<$Pcharged  \qquad E\_Ecal $\leq$ 45 \qquad (E\_Ecal + E\_Hcal) $<$ 20

\item Tau Ereignisse ($\tau\tau$)

1 $<$ Ncharged $<$ 5 \qquad 1 $<$ Pcharged $<$ 45 \qquad 5 $<$ E\_Ecal $<$ 55 

\item hadronische Ereignisse (qq)

11 $<$ Ncharged

\end {itemize}
\begin {table} 
\centering
\begin{tabular}{l|cccc}

           &   Elektron &       Myon &        Tau &     Hadron \\
\hline
  Elektron &      14225 &          1 &         47 &          0 \\

      Myon &          0 &      84242 &         45 &          0 \\

       Tau &         12 &        255 &      47443 &         29 \\

    Hadron &          0 &          0 &         48 &      90222 \\
\end{tabular}  \caption {Zuordnung der Monte-Carlo Ereignissen nach den Schnitten} \label {schn}
\end {table} 
Das Ergebnis der Schnitte angewendet auf die Monte-Carlo Daten ist in Tabelle \ref{schn} zu sehen.
In einer Zeile stehen jeweils die Anzahl der Ereignisse einer Ereignisklasse welche als Ereignis der entsprechenden Spalte 
identifiziert wurde.

Um nun daraus eine Effizienzmatrix $A$ zu ermitteln teilen wir jeden Eintrag der Tabelle \ref{schn} (bzw. der Matrix)
durch die gegebenen Gesamtereignisanzahl einer Ereignisklasse in jeder Spalte, womit dann die Wahrscheinlichkeit angegeben wird, das ein
 Ereignis der Zeile x als ein Ereignis der Spalte y identifiziert wird.
 
Dabei mu"s bedacht werden, da"s wir als Gesamtereignisanzahl der Elektronen nur die s-Elektronen gelten lassen wollen.
Da wir f"ur die Elektronen aus diesem Grund in Cos\_Thet einen f"ur s-Kanal-Elektronen sehr verlustreichen Schnitt
 angesetzt haben, m"u"sen wir von der durch den Cos\_Thet-Schnitt herausmaskierten s-Kanal-Elektronen auf 
die Gesamtanzahl der s-Kanal-Elektronen zur"uckschlie"sen.
Zun"achst k"onnen wir die durch den $\Theta$-Schnitt verlorenen s-Kanal-Elektronen durch einen Winkelkorrekturfaktor
$\kappa$ zur"uckgewinnen, welcher mit der Annahme der theoretisch erwarteten Winkelverteilung $1 + cos^{2}\Theta$
 berechnet werden kann:
$$
\kappa = \frac {\int_{-1}^{1} 1+ cos^{2} \Theta \:\textnormal{d}cos\Theta}
{\int_{-0,9}^{0,45} 1+ cos^{2} \Theta \:\textnormal{d}cos\Theta} = 1,64266
$$
Ber"ucksichtigt man nun noch den ''Precut''(100000/93802), so erh"alt man folgende s-Kanal-Elektronen Gesamtanzahl:
\begin{eqnarray}
n_{e-s}^{MC} &=&(\textnormal{Winkelkorrekturfaktor})\cdot(\textnormal{Precut-Korrekturfaktor})\cdot
(\textnormal{Anzahl der s-Elektronen nach $\Theta$-Schnitt}) \nonumber \\
&=& \kappa  \cdot \frac {100000} {93802}  \cdot 19597  = 34318 \nonumber
\end {eqnarray}
\begin {table} \centering
\begin{tabular}{ccccc}
      &    ee        &     $\mu\mu$      &   $\tau\tau$         &    qq                \\
 ee & 4,15E-1   $\pm$ 5,28E-2 &   1,00E-5   $\pm$ 1,00E-5 &   4,70E-4   $\pm$ 6,86E-5 &   0  $\pm$0 \\

 $\mu\mu$ & 0   $\pm$ 0 &   8,42E-1   $\pm$ 2,90E-3 &   4,50E-4  $\pm$ 6,71E-5 &   0   $\pm$ 0 \\

 $\tau\tau$ &3,50E-4   $\pm$ 1,53E-3 &   2,55E-3   $\pm$ 1,60E-4 &   4,74E-1   $\pm$ 2,18E-3 &   2,90E-4  $\pm$  5,39E-5 \\

  qq & 0   $\pm$ 0 &  0   $\pm$ 0 &   4,80E-4  $\pm$  6,93E-5 &   9,02E-1  $\pm$  3,00E-3 \\
\end{tabular}  \caption {Effizienzmatrix $A$}\label{eff}
\end {table}

F"ur die restlichen Ereignisklassen (ausser ee) nahmen wir als Gesamtereignisanzahl 100000 Ereignisse an.
Die daraus resultierende Effizienzmatrix $A$ befindet sich in Tabelle \ref{eff}.
Die Fehler der Effizienzmatrixeintr"age nahmen wir als Gauss-fortgepflanzte rein statistische ($\sqrt{N}$) Fehler an, wobei
wir die Gesamtereignisanzahl von 100000 Ereignissen als fehlerfrei betrachteten. Sp"ater stellte sich heraus,
da"s diese Fehler bei Ereinissen unter $N=100$ zu gro"s angesetzt sind und ma"sgeblich f"ur ein sehr kleinen $\chi^{2}$
-Wert bei dem Fit der Breit-Wigner-Verteilung verantwortlich sind.
\begin {table} 
\centering
\begin{tabular}{ccccc}
           &    ee        &   $\mu\mu$      &  $\tau\tau$       &    qq                \\

      ee     & 2,41E+0 $\pm$ 3,08E-1 & -2,14E-5 $\pm$ 2,88E-5 & -2,39E-3 $\pm$4,63E-4 & 7,68E-7 $\pm$ 2,06E-7 \\

     $\mu\mu$   & 9,49E-7 $\pm$ 4,17E-6 & 1,19E+0 $\pm$2,14E-1 & -1,13E-3 $\pm$ 2,64E-4 & 3,62E-7 $\pm$ 1,08E-7 \\

     $\tau\tau$    & -1,78E-3 $\pm$ 7,80E-3 & -4,90E-7 $\pm$ 6,38E-3 & 2,11E+0 $\pm$ 3,80E-1 & -6,78E-4 $\pm$ 1,75E-4 \\

      qq     & 9,46E-7 $\pm$ 4,1541E-6 & 3,39E-6 $\pm$8,12E-7 & -1,12E-3 $\pm$ 2,59E-4 & 1,11E+0 $\pm$ 2,00E-1 \\
\end{tabular}  \caption {Inverse Effizienzmatrix $A^{-1}$}\label{inv}
\end {table}

Um die Effizienzmatrix sp"ater auf die OPAL-Daten anwenden zu k"onnen, invertierten wir sie.
Dazu verwendeten wir die Matrixinversion mit Hilfe von Unterdeterminanten und entwickelten die Fehler nach Gauss.
Die Berechnung und die Werte der Unterdeterminanten mit Fehler k"onnen in der Excel-Datei www.uni-bonn.de/\~{}pspieker/E213.xls
eingesehen werden.
In Tabelle \ref{inv} steht die invertierte Effizienzmatrix $A^{-1}$.
\begin {table}  \centering

\begin{tabular}{c|rrrr}

$E_{SP}$ [GeV] &        ee  &$\mu\mu$&        $\tau\tau$ &         qq \\
\hline
     88,47 &         93 &        131 &        109 &       3262 \\

     89,46 &        228 &        340 &        208 &       7299 \\

     90,22 &        358 &        659 &        372 &      14510 \\

     91,22 &       4598 &       9662 &       5484 &     216748 \\

     91,97 &        371 &        844 &        452 &      18407 \\

     92,96 &        146 &        343 &        203 &       7965 \\

     93,71 &        153 &        380 &        242 &       8458 \\
\end{tabular} \caption {Durch die Schnitte heraugefilterte Ereignisse der OPAL-Daten} \label{op} 
\end {table}

\subsection{Auswertung der OPAL-Daten}
Die vorher ermittelten Schnittkriterien wendeten wir nun auf den Datensatz 6 der OPAL-Daten an.
Im Skript sind f"ur jeden Datensatz 7 (Schwerpunkts-)Energien und die dazugeh"origen Luminosit"aten samt Fehler 
angegeben. 
Dabei unterteilten wir den OPAL-Datensatz in verschiedene Strahlenergiebereiche: jeweils von dem Mittelwert zweier benachbarter
im Skript angegebenen Energien zum n"achsten Mittelwert und identifizierten die Bereiche jeweils mit der im Skript 
angegeben Schwerpunktsenergie (d.h. f"ur die Energie 90,22\,GeV betrachteten wir einen Strahlenergiebereich von 44,92\,GeV bis
45,36\,GeV).
Somit erhielten wir nach den Schnitten f"ur sieben verschiedene Energien einen Wert f"ur die Ereignisse in jeder 
Ereignisklasse (siehe Tab. \ref{op}).
Wie zu erwarten treten besonders viele Ereignisse bei einer Schwerpunktsenergie auf, welcher der Energie des $Z^{0}$-
Bosons entspricht ($Z^{0}$-Resonanz).

Konnten wir vorher durch die Effizienzmatrix $A$ von den simulierten Monte-Carlo Ereignissen auf die nach den Schnitten 
"ubrigebliebenen Ereignisanzahl schlie"sen, indem wir die Anzahl der Ereignisse als Vektor $\vec n $ schrieben, so k"onnen 
wir nun mit Hilfe der inversen Effizienzmatrix die durch die Schnitte ermittelten Ereignisse auf Effizienz und Untergrund 
korrigieren.
$$
\vec n_{nach Schnitt} = A \cdot \vec n_{MC}  \quad \Leftrightarrow \quad A^{-1} \cdot \vec n_{OPAL} = \vec n_{korrigiert}
$$
Zur Berechnung der Wirkungsquerschnitte $\sigma$ muss die ermittelte Anzahl von Ereignissen $n$ nur noch durch die 
Luminosit"at $L$ geteilt werden, gem"a"s der Gleichung $n = \sigma \: \int L\: \textnormal{d}t$.
Die im Skript zu den jeweiligen Schwerpunktsenergien angegebenen Luminosit"aten sind bereits "uber die Zeit $t$ integriert.
Da jedoch vor einer $e^{+}$-$e^{-}$-Kollision Photonen abgestrahlt werden k"onnen, und somit im Durchschnitt eine niedrigere
Schwerpunktsenergie vorliegt mu"s eine Strahlungskorrektur $S$ bei der Berechnung der Wirkungsquerschnitte angef"ugt werden.
Im Skript sind zu den jeweiligen Schwerpunktsenergien Strahlungskorrekturen f"ur leptonische und hadronische Ereignisse 
aufgelistet, welche wir verwendet haben.
F"ur den vektoriellen Wirkungsquerschnitt ($\sigma_{1} = \sigma_{e}, \sigma_{2} = \sigma_{\mu}, \sigma_{3} = 
\sigma_{\tau}, \sigma_{4} = \sigma_{q}$),ergibt sich somit:
$$
\vec \sigma = (\frac 1 L \:A^{-1}n_{OPAL} +  \vec S)
$$
Der Fehler berechnet sich nach Gauss komponentenweise zu:
$$
\Delta \sigma_{i} = \sqrt{\biggl(\frac{M_{ij}n_{j}}{L^{2}}\Delta L\biggr)^{2}+\sum_{j} \biggl( \frac{n_{j}}{L}\Delta M_{ij}\biggr)^{2}
+\sum_{j} \biggl(\frac{M_{ij}}L \Delta n_{j}\biggr)^{2} } \quad ; \quad i,j = e, \mu, \tau, q
$$
\begin {table}  \centering
% Table generated by Excel2LaTeX from sheet 'Tabelle3'
\begin{tabular}{c|cccc}

$E_{SP}$ [GeV] & $\sigma_{e}$ [nb]            & $\sigma_{\mu}$ [nb]            & $\sigma_{\tau}$ [nb]            & $\sigma_{q}$  [nb]          \\
\hline
     88,47 &      0,422 $\pm$     0,055 &      0,320 $\pm$     0,046 &      0,426 $\pm$     0,061 &      7,349 $\pm$      0,966 \\

     89,46 &      0,886 $\pm$     0,099 &      0,704 $\pm$      0,095 &      0,741 $\pm$      0,099 &     14,402 $\pm$     1,824 \\

     90,22 &      1,348 $\pm$     0,137 &      1,255 $\pm$     0,165 &      1,245 $\pm$     0,162 &     26,107 $\pm$     3,324 \\

     91,22 &      1,924 $\pm$      0,181 &      1,972 $\pm$      0,263 &      1,965 $\pm$      0,265 &     41,234 $\pm$     5,495 \\

     91,97 &      1,303 $\pm$      0,150 &      1,433 $\pm$     0,223 &      1,359 $\pm$      0,209 &     29,421 $\pm$      4,465 \\

     92,96 &      0,553 $\pm$     0,086 &      0,642 $\pm$    0,123 &      0,666 $\pm$     0,124 &     13,934 $\pm$     2,553 \\

     93,71 &      0,311 $\pm$      0,059 &      0,398 $\pm$      0,090 &      0,455 $\pm$      0,098 &      8,349 $\pm$      1,797 \\
\end{tabular} \caption {Wirkungsquerschnitte zu den verschiedenen Schwerpunktsenergien}\label {wirk} 
\end {table}
Die Ergebnisse befinden sich Tabelle \ref{wirk}.

\subsection {Bestimmung der Vorw"arts-R"uckw"arts-Asymmetrie}
Zur Bestimmung der Vorw"arts-R"uckw"arts-Symmetrie sind Ereignisse interessant, deren Zerfallswinkel man gut messen kann.
Aus diesem Grund sind hadronische oder Tau-Ereignisse schonmal nicht geeignet. 
Da die Asymmetrie ein Kennzeichen der schwachen Wechselwirkung ist, und somit beim Austausch eines $Z^{0}$-Bosons auftritt,
sind Elektronen Ereignisse im t-Kanal ebenfalls uninteresant. 
Bei Myon-Ereignissen tritt nur der s-Kanal auf und in aller Regel nur zwei Spuren in der Jetkammer, 
wodurch die Winkel gut messbar sind. Deswegen verwendeten wir die Myonen-Ereignisse zur Bestimmung der Asymmetrie.

Um sicher zu gehen, da"s wir nur Myonen-Ereignisse aus den OPAL-Daten f"ur diese Berechnung verwenden,
verfeinerten wir den Myon-Schnitt und schnitten dar"uberhinaus die Myon-Ereignisse in Cos\_Theta, 
um einen Vorw"arts(R) und R"uckw"arts(L)-Bereich zu erhalten:\\
Neuer Myon Schnitt:
$$
\textnormal{Ncharged} \leq 6 \qquad  75<\textnormal{Pcharged}  \qquad \textnormal{E\_Ecal} \leq 45 \qquad 
\textnormal{(E\_Ecal + E\_Hcal)} < 10 $$ $$
\textnormal{r"uckw"arts}: -0,8 \leq \textnormal{Cos\_Thet} \leq 0 \qquad 
\textnormal{vorw"arts}: 0 \leq \textnormal{Cos\_Thet} \leq 0,8
$$

Diesen Schnitt wendeten wir auf die gleichen Energiebereiche an, die wir bereits bei der Bestimmung der Wirkungsquerschnitte
verwendet haben. Mit den Werten f"ur den Vorw"arts- und R"uckw"arts-Bereich (R und L) kann nun die Asymmetrie $A_{FB}$
und der quadrierte Sinus-Wert des Weinbergwinkel $\theta_{W}$ ausgerechnet werden:
$$
A_{FB} = \frac {R-L}{R+L}\quad \pm \frac{\sqrt{(2L\sqrt{R})^{2}+(2R\sqrt{L})}}{(R+L)^{2}}
$$
$$
A_{FB}^{Peak} \simeq 3 (\frac{v_{l}}{a_{l}})^{2} \quad ; \quad \frac{v_{l}}{a_{l}} = 1-4\:sin^{2}\Theta_{W}
$$ $$
\Rightarrow sin^{2}\Theta_{W} = \frac 1 4 - \frac 1 {12} \sqrt{A_{FB}^{Peak}} \quad \pm \biggl|
\frac {\Delta A_{FB}^{Peak}}{24 \sqrt{A_{FB}^{Peak}}} \biggr|
$$
\begin {table}  \centering
\begin{tabular}{r|r|r|c|c}

  $E_{SP}$&          L &          R &        $A_{FB}$ & $sin^{2}\Theta_{W}$ \\
\hline
     88,47 &         47 &         35 & -0,146341 $\pm$ 0,109242 &    NAN \\

     89,46 &        105 &        106 & 0,004739 $\pm$ 0,068842 & 0,24426 $\pm$ 0,04166\\

     90,22 &        205 &        189 & -0,040609 $\pm$ 0,050337 &    NAN \\

     91,22 &       2835 &       2829 & -0,001059 $\pm$ 0,013287 &     NAN \\

     91,97 &        235 &        258 & 0,046653 $\pm$ 0,04498 & 0,23200 $\pm$ 0,00867 \\

     92,96 &         84 &        108 &      0,125 $\pm$ 0,071602 & 0,22053 $\pm$ 0,00843\\

     93,17 &         88 &        114 & 0,128712 $\pm$  0,06977 & 0,22010 $\pm$ 0,00810 \\

        MC &      28917 &      29369 & 0,007755 $\pm$ 0,004142 & 0,24266 $\pm$ 0,00195 \\
\end{tabular}  \caption {Asymmetriefaktor und Weinbergwinkel f"ur verschiedene Energien}\label {afb}
\end {table}

Dabei bezeichnet $A_{FB}^{Peak}$ den Asymmetriefaktor am Peak der $Z^{0}$-Resonanz (ca. 91,22\,GeV).
Die Ergebnisse des Schnitts, f"ur den Asymmetrie-Faktor und f"ur den Weinbergwinkel befinden sich in Tabelle \ref{afb}.
Wir haben die Berechnungen auch f"ur die Monte-Carlo-Daten durchgef"uhrt (letzte Zeile der Tabelle).
Leider konnten wir den Weinbergwinkel nicht genau bestimmen, da $A_{FB}^{Peak}$ negativ ist.
Anhand der Monte-Carlo-Daten erhielten wir einen Weinbergwinkel von $sin^{2}\Theta_{W}= (0,24266 \pm 0,00195)$.
In der online Ausgabe des Particle Data Book (http://pdg.lbl.gov) fanden wir in Kapitel 10.2 (Electroweak model) f"ur
$sin^{2}\Theta_{W}= 0,23108 \pm  0,00005$ somit weicht der gemessene Wert um 5\% vom Literatur-Wert ab.
Der Literaturwert liegt in der 6$\sigma$ Umgebung des gemessenen Wertes.
Eine Ursache dieses schlechten Konfidenz-Intervall ist sicherlich darin zu suchen, da"s die Monte-Carlo Daten vielleicht 
nicht die Ereignisse genau am Resonanzmaximum beschreibt und der Schnitt vielleicht zu ''einschneidend'' angesetzt ist.
\subsection {Breit-Wigner-Funktionsfit}
Wie bereits beschrieben kann die $Z^{0}$-Resonanzkurve (Wirkungsquerschnitte aufgetragen gegen Schwerpunktsenergie) 
durch eine Breit-Wigner Form angepasst werden.
Wir haben bereits f"ur alle 4 Ereignisklassen Wirkungsquerschnitte zu 7 verschiedenen Energien und erwarten somit, 
da"s sich die 7 Me"swerte f"ur die Wirkungsquerschnitte wie folgt verteilen:
$$ 
\sigma_{f} = \frac {12 \pi}{M^{2}_{Z}} \cdot \frac {s\Gamma_{f} \Gamma_{e}}{(s-M_{Z}^{2})^{2}+
(s^{2}\:\Gamma^{2}_{Z}/M_{Z}{2}}
$$
Mit der quadrierten Schwerpunktsenergie $s$ k"onnen durch den Fit in jeder Ereignisklasse 3 unbekannte Gro"sen bestimmt 
werden: die Gesamtzerfallsbreite des $Z^{0}$-Bosons $\Gamma_{Z}$, die Masse des $Z^{0}$-Bosons $M_{Z}$ und der Wirkungsquerschnitt
am Resonanzmaximum $\sigma_{f}^{peak}$.
Dabei wird das $\chi^{2}$ minimiert (Methode der kleinsten Quadrate):
$$
\chi^{2} = \sum_{i=1}^{N}\biggl(\frac {\sigma_{i}^{gemessen}-\sigma_{i}^{theoretisch}}{\Delta\sigma_{gemessen}}\biggr)^{2}\quad;N=7
$$
\begin{figure} [hbtp] 
\centering
\subfigure[Elektronen]{ \includegraphics [width=8cm]{bwee}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[Myonen]{ \includegraphics[width=8cm]{bwmm}}\caption {Kurvenfit an die Breit-Wigner-Funktion}\label{bw1}
\end {figure} 
\begin {figure} 
\subfigure[Tau]{ \includegraphics [width=8cm]{bwtt}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[Hadronen]{ \includegraphics[width=8cm]{bwqq}}
\caption {Kurvenfit an die Breit-Wigner-Funktion}\label {bw2}
\end{figure}
\begin {table} \centering
\begin{tabular}{c|cccr}
           & $\sigma_{f}^{peak}$ [nb]             &$ M_{Z}$ [GeV]             & $\Gamma_{Z} $[GeV] &            $\chi^{2}/dof$ \\
\hline
        ee &      1,961 $\pm$     0,1596 &      90,97 $\pm$     0,072 &      2,560 $\pm$      0,209 &    2,063/4 \\

        mm &       2,01 $\pm$     0,2233 &      91,18 $\pm$      0,092 &      2,433 $\pm$     0,247 &   0,347/4 \\

        tt &      1,862 $\pm$      0,216 &      91,15 $\pm$      0,098 &      2,812 $\pm$     0,332 &   0,620/4 \\

        qq &      41,16 $\pm$      4,596 &      91,18 $\pm$      0,089 &      2,533 $\pm$      0,260 &  0,008/4 \\

arith. Mittel &                        &      91,12 $\pm$      0,044 &      2,585 $\pm$      0,133 &            \\
 Literatur &                        &      91,19 $\pm$      0,002 &      2,495 $\pm$      0,003 &            \\
\end{tabular} \caption {Ergebnisse des Funktionenfits}  \label{bw3}
\end {table}

Das $\chi^{2}$ folgt einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dem Mittelwert $dof$ (degree of freedom).
Da wir eine Datenmenge von $N=7$ und 3 zu bestimmende Gr"o"sen vorliegen haben, haben wir bei unserer Messung ein
$dof$ von 4, gem"a"s der Formel $\; dof = N - 3$.
Ist der Fit gut gelungen, dann weist $\chi^{2}$ ungef"ahr einen gleichen Wert wie $dof$ auf und es sollte gelten:
 $\chi^{2} / dof = 1$.
Ist der $\chi^{2}$-Wert zu gro"s, so stimmt die Fitfunktion nicht gut mit unseren Werten "uberein, ist das $\chi^{2}$ 
kleiner als $dof$, so wurden wahrscheinlich die Fehler als zu gro"s angesetzt (vgl. Formel f"ur $\chi^{2}$).

Die Ergebnisse der Kurvenfits befinden sich in Abbildung \ref{bw1} und \ref{bw2} sowie Tabelle \ref{bw3}.
Die Literaturwerte wurden der online Ausgabe des Particle Data Book entnommen.

Da"s die $\chi^{2}$-Werte alle sehr klein geraten sind, liegt wohl daran, da"s wir durchg"angig $\sqrt{N}$ als 
statistischen Fehler angenommen haben, auch f"ur $N$-Werte kleiner als 100. Trotz der gro"sen Fehler kann man davon 
ausgehen, da"s die Fitfunktion mit unseren gemessenen Werten vertr"aglich ist.
Der Literaturwert f"ur $ M_{Z}$ liegt in einer 2-$\sigma$ und der Literaturwert f"ur $\Gamma_{Z} $ liegt in einer 1$\sigma$
Umgebung um unsere gemessenen Werte.
 
\subsection {Bestimmung der Partialbreiten}
Mit den nun bestimmten Werten f"ur $ M_{Z}$, $\Gamma_{Z} $ und $\sigma_{f}^{peak}$ k"onnen wir nun die Partialbreiten
anhand der in den Voraufgaben bereits verwendeten Gleichung \ref{partf} bestimmen:
$$
\sigma_{f}^{peak}=\frac{12\pi}{M_{Z}^{2}}\cdot\frac{\Gamma_{e}}{\Gamma_{Z}}\cdot \frac{\Gamma_{f}}{\Gamma_{Z}}
$$ $$\Rightarrow \quad \Gamma_{e} = M_{Z} \Gamma_{Z} \sqrt{\frac {\sigma_{e}^{peak}}{12\pi}} \quad 
\pm \sqrt{\biggl( \Gamma_{Z} \sqrt{\frac {\sigma_{e}^{peak}}{12\pi}}\Delta M_{Z}\biggr)^{2} + 
\biggl(M_{Z}  \sqrt{\frac {\sigma_{e}^{peak}}{12\pi}} \Delta \Gamma_{Z}\biggr)^{2}+
\biggl(M_{Z} \Gamma_{Z} \frac 1 {2\sqrt{\sigma_{e}^{peak}12\pi}}\Delta \sigma_{e}^{peak}\biggl)^{2}}
$$ $$ \Rightarrow \Gamma_{f} = \frac{(\Gamma_{Z}M_{Z})^{2} \sigma_{f}^{p}}{12\pi\Gamma_{e}} \quad 
\pm \sqrt{ \biggr( \frac{2 M_{Z}^{2} \sigma_{f}^{p}}{12\pi\Gamma_{e}} \Delta \Gamma_{Z}\biggr)^{2}+
\biggl (\frac{\Gamma_{Z}^{2} \sigma_{f}^{p}}{12\pi\Gamma_{e}}\Delta M_{Z}\biggl)^{2}+
\biggl( \frac{(\Gamma_{Z}M_{Z})^{2} }{12\pi\Gamma_{e}}\Delta \sigma_{f}^{p}\biggr)^{2}+
\biggl (\frac{(\Gamma_{Z}M_{Z})^{2} \sigma_{f}^{p}}{12\pi\Gamma_{e}^{2}}\Delta \Gamma_{e}\biggr)^{2}}
$$
\begin{table} \centering
\begin{tabular}{rccc}

[MeV] &   gemessen             &  berechnet &     Skript \\
\hline
$\Gamma_{e}$ &     85,12 $\pm$     1,35 &       83,4 &       83,8 \\

$\Gamma_{\mu}$ &     89,22 $\pm$       1,41 &       83,4 &       83,8 \\

$\Gamma_{\tau}$ &     82,65$\pm$      1,31 &       83,4 &       83,8 \\

$\Gamma_{q} $&    1757,18 $\pm$    27,85 &       1674 &       1732 \\

$\Gamma_{l} $&     85,66$\pm$     0,78 &       83,4 &       83,8 \\
\end{tabular} \caption {Partialbreiten}  \label{partialbr}
\end{table}
Die Ergebnisse dieser Berechnung sind in Tabelle \ref{partialbr} dargestellt. Zur Berechnung haben wir unsere gemessenen 
und gemittelten Werte f"ur die Masse und Breite des $Z_{0}$-Bosons verwendet. $\Gamma_{l}$ wurde in der Tabelle durch das arithmetische 
Mittel der drei leptonischen Breiten berechnet.

Das im Skript angegebene $\Gamma_{e}$, $\Gamma_{\tau}$ und $\Gamma_{q}$ liegt jeweils in der 1-$\sigma$ Umgebung unseres gemessenen Wertes.
Bei $\Gamma_{\mu}$ liegt eine gr"o"sere Abweichungen vor (4-$\sigma$ Umgebung).
Vermutlich liegt diese gro"se Abweichung an dem Myon Schnitt, bei welchen es die meisten Schwierigkeiten gab, 
soda"s die Effizienzmatrix dort auch am meisten ''korrigieren'' mu"ste, was wiederum eine Fehlerquelle birgt.

\subsection {Lepton-Universalit"at und Neutrinogenerationen}
Gem"a"s der Lepton-Universalit"at sollten alle drei leptonischen Zerfalls-Kan"ale gleich gro"s sein.
Dies kann man durch die Division zweier Breiten quantifizieren:
$$
\frac {\Gamma_{e}}{\Gamma_{\mu}} =  0,954	\pm 0,021    \quad \frac {\Gamma_{e}}{\Gamma_{\tau}} = 1,030\pm0,023
\quad \frac {\Gamma_{\tau}}{\Gamma_{\mu}} =	0,926\pm	0,021
$$
Der erwartete Wert von 1 liegt bei $e/\mu$ in einer 3-$\sigma$ Umgebung, bei $e/\tau$ in einer 2-$\sigma$ 
und bei $\tau/\mu$ in einer 4-$\sigma$ Umgebung. 
Das kann nicht gerade als ein Beweis der Lepton Universalit"at gedeutet werden, die Partialbreiten liegen zu weit 
auseinander. Besonders die von der Theorie stark abweichende Partialbreite der Myonen verursacht weit von 1 
entfernte Br"uche. Einzig $e/\tau$ liefert einen akzeptablen Wert.

Aus der Formel f"ur die Gesamtzerfallsbreite $\Gamma_{Z}$ k"onnen wir mit der Annahme der Lepton-Universalit"at 
und unseren Me"swerten auf die Anzahl $N_{\nu}$ der leichten Neutrinogenerationen schlie"sen:
$$
\Gamma_{Z} = 3 \Gamma_{l} + N_{\nu} \Gamma_{\nu} + \Gamma_{q}
\quad \Leftrightarrow \quad N_{\nu} = \frac {\Gamma_{Z}-3 \Gamma_{l}-\Gamma_{q}}{\Gamma_{\nu}}= 3,41 \pm 0,81
$$
Wobei wir f"ur $\Gamma_{\nu}$ die im Skript angegebene, als fehlerfrei angenommene Neutrino-Partialbreite von 167,6\,MeV 
und f"ur  $\Gamma_{l}$ den Wert aus Tabelle \ref {partialbr} eingesetzt haben.
Den Fehler bestimmten wir mit Gau"sscher Fehlerfortpflanzung.
Aufgrund des gro"sen Fehlers liegt sowohl die M"oglichkeit von 3 oder 4 Neutrinogenerationen in einer 1-$\sigma$ Umgebung.
Da jedoch unser Me"swert um 12\% von 3 und um 17\% von 4 abweicht, liegt die Annahme von 3 Neutrinogenerationen n"aher.
Wobei hier nur etwas "uber Neutrinogenerationen ausgesagt wird, die leichter als die H"alfte der Masse des 
$Z^{0}$-Bosons sind.

\subsection {Fehlerquellen}
Obwohl bei diesem Versuch ''nur'' Daten ausgewertet wurden, die sicherlich mit guter Genauigkeit aufgenommen wurden, 
so gibt es doch einige Fehlerquellen:
\begin {itemize}
\item Die Monte-Carlo-Simulation, mit deren Hilfe wir die Schnitte bestimmt haben, ist lediglich eine Simulation und somit
fehlerbehaftet. Ein weiterer systematischer Fehler liegt darin begr"undet, da"s wir diese Schnitte f"ur alle Schwerpunktsenergien
verwendet haben, obwohl die Monta-Carlo-Simulation nur f"ur eine bestimmte Energie gedacht war.

\item Die Schnitte h"atten noch weiter verbessert werden k"onnen, einmal durch mehr Aufwand und mit Hilfe von mehr Variablen.
Die Ungenauigkeit der Schnitte sorgt ebenfalls f"ur einen Fehler bis in die letzten Berechnungen.
Besonders der aufwendige Schnitt zur Trennung von s- und t-Kanal-Elektronen macht eine Rekonstruktion aller gegebenen 
s-Kanal-Elektronen n"otig, wobei gro"se Fehlerquelen einfliessen. Leider ist dies aber zur Bestimmung der Masse und Breite 
des $Z^{0}$-Bosons erforderlich.

\item F"ur die verwendeten Formeln wurden einige Annahmen bzw. N"aherungen verwendet, z.B. eine Born'sche N"aherung
bei der Vorw"arts-R"uckw"arts-Asymmetrie.

\item Mit 7 Schwerpunktsenergien liegt keine sehr gro"se Grundgesamtheit f"ur einen Funktionsfit mit der Methode
 der kleinsten Quadrate vor. Daraus resultieren Ungenauigkeiten.
 \end {itemize}
Zusammenfassend ist dies ein sehr interessanter Versuch, da man eine Vorstellung davon bekommt, wie ein modernes
Gro"sexperiment durchgef"uhrt wird. Wie schnell man mit einigen Annahmen und gegebenen Daten auf Eigenschaften von Elemtarteilchen
schlie"sen kann ist erstaunlich.

Leider konnten wir die Vorw"arts-R"uckw"arts-Asymmetrie nicht korrekt nachweisen und aufgrund der zu gro"s angenommenen
Fehler ($\sqrt{N}$ auch f"ur $N\leq 100$) erhielten wir keine guten $\chi^{2}$-Werte. Mit einem besseren Myonen-Schnitt
w"aren die Partialbreiten wahrscheinlich n"aher an den Literaturwerten.
So konnten wir zwar vieles nicht exakt best"atigen, jedoch liesen unsere Ergebnisse die Vermutung zu, da"s die
 Literaturwerte wohl nicht ganz falsch sind.

\end {document} 

