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\date{18. August 2005}
\author{Henning Schories und Philipp Spiekermann}
\title{ZEEMAN- UND PASCHEN-BACK-EFFEKT (E 112)}
\begin{document}
\maketitle
 
Setzt man Atome einem äußeren homogenen Magnetfeld aus, so wird die Entartung bezüglich der magnetischen 
Quantenzahl aufgehoben.
Je nach \emph{Stärke} des äußeren Feldes beobachtet man den Zeeman- oder den Paschen-Back-Effekt.
Dabei gilt ein äußeres Magnetfeld als \emph{stark}, wenn die Wechselwirkung der von Spin und Bahndrehimpuls verursachten 
magnetischen Momenten mit diesem die \emph{magnetische} Wechselwirkung von Spin und Bahnedrehimpuls miteinander dominiert.
Die dadurch hervorgerufene Aufspaltung der Energieniveaus ist für im obigen Sinne schwache Felder gegeben durch 
\begin {equation}
\Delta E = \mu_{B} B g_{J} m_{J}
\end {equation}
(Zeeman-Effekt) und für starke Felder durch 
\begin {equation}
\Delta E = \mu_{B} B ( g_{L} m_{L} + g_{S} m_{S} )
\end {equation}
(Paschen-Back-Effekt).
Hier ist 
\begin {equation}
\mu_{B} = \frac{e \hbar}{2 m_{e}}
\end {equation}
das Bohrsche Magneton (in SI-Einheiten) und die g's sind die Landé-Faktoren.
Es gilt $g_{L} = 1 , \\ g_{S}=2,0023$ und 
\begin {equation}
g_{J} = 1 + \frac{J(J+1) + S(S+1) - L(L+1)}{2 J(J+1)}\;.
\end {equation}
$m_{L}$ kann die Werte L, L-1, \dots , -L annnehmen.
Analoges gilt für $m_{S}$ und $m_{J}$.

Im Falle des Zeeman-Effektes wird also ein Energieniveau mit der Quantenzahl J in 2J+1 äquidistante Niveaus aufgespalten. 
Zwischen bezüglich der Drehimpulsquantenzahl J (Feinstruktur) und der magnetischen Quantenzahl $m_{J}$ 
aufgespaltenen Energieniveaus können optische Übergänge gemäß den Auswahlregeln für j-j-Kopplung 
\begin {equation}
\Delta J = 0 , \pm 1 \quad ; \quad \Delta m_{J} = 0 , \pm 1
\end {equation} 
stattfinden, 
wobei jedoch Übergänge zwischen Niveaus mit J=0 \emph{verboten} sind.
Photonen, die bei Übergängen mit $\Delta m_{J} = 0 $ emittiert werden, sind parallel zur Richtung des äußeren Magnetfeldes 
linear polarisiert.
Man spricht in diesem Fall von $\pi$-Übergängen.
Photonen, die bei Übergängen mit $\Delta m_{J} = \pm 1 $ emittiert wurden, sind senkrecht zur Richtung des äußeren Magnetfeldes 
rechts- bzw. links-zirkular polarisiert.
In diesem Fall spricht man von $\sigma_{+}$ bzw. $\sigma_{-}$ Übergängen.

Verschwindet der Gesamtspin, d.h. gilt S=0, so ist die \emph{Größe} der Aufspaltung gemäß der Gleichung (1)  und (4) 
unabhängig von J, denn es gilt dann immer $g_{J} = 1 $ .
Somit fallen alle möglichen $\sigma_{-}$ bzw. $\sigma_{+}$ Übergänge energetisch zusammen.
Diesen Fall nennt man den \emph{normalen} Zeeman-Effekt.

Ist $ S \ne 0 $, so hängt die \emph{Größe} der Aufspaltung von J ab.
Diesen Fall nennt man den \emph{anomalen} Zeeman-Effekt.
Liegt hingegen der Paschen-Back-Effekt vor, so geschieht die Aufspaltung gemäß Gleichung (2) bezüglich $m_{L}$ 
und $m_{S}$.
Hier können nur optische Übergänge stattfinden, die den Auswahlregeln 
\begin {equation}
\Delta L = 0, \pm 1 \quad ; \quad \Delta m_{S} = 0
\end {equation}
genügen.

\section {Versuchsdurchf"uhrung}

Ziel des Versuches war 1. die Messung der Zeeman-Aufspaltung von vier Kadmium-Linien mit anschließender 
Berechnung des Bohrschen Magnetons sowie die Bestimmung des Auflösungsvermögens der Lummer-Gehrcke-Platte und 
2. die Messung der Paschen-Back-Aufspaltung der gelben Helium-Linie mit anschließender Berechnung der spezifischen 
Elektronenladung $e/m_{e}$ sowie die Messung der Polarisation der einzelnen $\sigma$-Linien und anschließender 
Bestimmung der Magnetfeldrichtung.
\begin {center}
\begin {figure}
\centering
\includegraphics[width=12cm]{Versuchsaufbau} \caption{Versuchsaufbau} 
\end {figure}
\end {center}

\subsection {Zeeman-Effekt von Kadmium}

Zur Messung der Zeeman-Aufspaltung von Kadmium verwendeten wir eine Kadmium-Dampf-Lampe, die wir zwischen den 
Polschuhen eines Elektromagneten platzierten.
Beobachtet wurde in transversaler Richtung (bezüglich der Feldrichtung).
Das von der Lampe emittierte Licht wurde vor der Beobachtung durch ein Fernrohr mithilfe eines auswechselbaren 
Farbfilters monochromatisiert, dann mithilfe einer Lummer-Gehrcke-Platte durch vielfache Reflektion und 
Transmission zur Interferenz gebracht und schließlich noch mithilfe eines verstellbaren Polarisationsfilters 
auf eine Polarisatons-Komponente eingeschränkt.
Die Stärke des Magnetfeldes wurde über die Stromversorgung des Elektromagneten geregelt.

Da wir zur Berechnung der Aufspaltung der Energieniveaus die Stärke des Magnetfeld benötigen, fertigten wir 
eine Eichkurve an, die die Feldstärke in Abhängigkeit des regelbaren Stromes darstellt.
Dazu tauschten wir die Kadmium-Lampe gegen eine Hall-Sonde aus, mit deren Hilfe man eine zur zu messenden 
Magnetfeldstärke proportionale Spannung, hier in Skalenteilen ablesbar, messen kann.
Der Proportionalitätsfaktor ist nach [1] gegeben durch u = 0,00979\,T/Skt .

Um Hystereseeffekte zu kompensieren, haben wir sowohl mit zunehmender als auch mit abnehmender Stromstärke U 
in Abhängigkeit von I gemessen und anschließend das arithmetische Mittel $ \bar U $ gebildet.
Wir nahmen Ablesefehler von $\Delta U$ = 0,3\,Skt und $\Delta I$ = 0,2\,A an.
Den Fehler für $\bar U$ haben wir mittels Gaußscher-Fehlerfortpflanzung zu $\Delta \bar U = \Delta U / \sqrt{4}  = 0,15$\,Skt berechnet.
$\Delta B$ ergibt sich daraus als Folgefehler gemäß $\Delta B = u \cdot \Delta U = 1,47$\,mT .
Die Ergebnisse enthält Tabelle (1).
\begin {center}
\begin {table}[h]
\begin{tabular}{r|rrrrrrrr} 
     I [A] & $U_{1}^{\uparrow}$ [Skt] & $U_{1}^{\downarrow}$ [Skt] & $U_{2}^{\uparrow}$ [Skt] & $U_{2}^{\downarrow}$ [Skt] &  $\bar U$ [Skt] & $\Delta \bar U$ [Skt] &    $ B$ [mT] &   $\Delta B$ [mT] \\
\hline
       0,0 &        0,0 &        0,0 &        0,0 &        0,0 &       0,00 &       0,15 &       0,00 &       1,47 \\
      0,5 &        2,5 &        2,1 &        2,0 &        2,0 &       2,15 &       0,15 &      21,05 &       1,47 \\
       1,0 &        5,5 &        5,0 &        5,0 &        5,0 &       5,13 &       0,15 &      50,17 &       1,47 \\
       1,5 &        7,8 &        8,0 &        8,1 &        8,0 &       7,98 &       0,15 &      78,08 &       1,47 \\
       2,0 &       10,0 &       10,0 &        9,5 &       10,0 &       9,88 &       0,15 &      96,68 &       1,47 \\
       2,5 &       12,2 &       12,5 &       12,0 &       12,5 &      12,30 &       0,15 &     120,42 &       1,47 \\
       3,0 &       15,0 &       14,5 &       14,5 &       14,8 &      14,70 &       0,15 &     143,91 &       1,47 \\
       3,5 &       18,0 &       18,0 &       17,5 &       18,0 &      17,88 &       0,15 &     175,00 &       1,47 \\
       4,0 &       19,5 &       20,0 &       19,6 &       20,0 &      19,78 &       0,15 &     193,60 &       1,47 \\
       4,5 &       22,5 &       22,5 &       22,1 &       23,0 &      22,53 &       0,15 &     220,52 &       1,47 \\
       5,0 &       25,0 &       25,1 &       24,8 &       25,0 &      24,98 &       0,15 &     244,51 &       1,47 \\
       5,5 &       28,0 &       27,5 &       27,6 &       27,5 &      27,65 &       0,15 &     270,69 &       1,47 \\
      6,0 &       30,0 &       30,0 &       30,0 &       30,0 &      30,00 &       0,15 &     293,70 &       1,47 \\
       6,5 &       32,5 &       33,0 &       32,4 &       32,9 &      32,70 &       0,15 &     320,13 &       1,47 \\
       7,0 &       35,0 &       35,0 &       34,6 &       35,4 &      35,00 &       0,15 &     342,65 &       1,47 \\
       7,5 &       37,5 &       38,0 &       37,0 &       37,8 &      37,58 &       0,15 &     367,86 &       1,47 \\
       8,0 &       40,0 &       40,0 &       39,5 &       40,0 &      39,88 &       0,15 &     390,38 &       1,47 \\
       8,5 &       42,0 &       42,5 &       42,0 &       42,8 &      42,33 &       0,15 &     414,36 &       1,47 \\
       9,0 &       44,0 &       44,3 &       44,0 &       44,8 &      44,28 &       0,15 &     433,45 &       1,47 \\
       9,5 &       46,0 &       46,1 &       45,7 &       46,2 &      46,00 &       0,15 &     450,34 &       1,47 \\
      10,0 &       47,5 &       48,0 &       47,3 &       48,0 &      47,70 &       0,15 &     466,98 &       1,47 \\
      10,5 &       48,8 &       49,0 &       48,8 &       49,1 &      48,93 &       0,15 &     478,98 &       1,47 \\
      11,0 &       50,0 &       50,0 &       50,0 &       50,0 &      50,00 &       0,15 &     489,50 &       1,47 \\
      11,5 &       51,0 &       51,0 &       51,0 &       51,0 &      51,00 &       0,15 &     499,29 &       1,47 \\
      12,0 &       52,0 &       52,0 &       52,0 &       52,0 &      52,00 &       0,15 &     509,08 &       1,47 \\
\end{tabular}
\caption{Magnetfeldeichung Zeeman-Effekt} 
\end {table}
\end {center}
Für die Darstellung der magnetischen Feldstärke als Funktion der Stromstärke hielten wir ein 
Polynom dritten Grades für passend: 
\begin {equation}
B(\bar I) = - 0,198\,mT/A^{3} \cdot \bar I^{3} + 2,450\,mT/A^{2}\cdot \bar I^{2} + 41,422\,mT/A \cdot \bar I + 3,777\,mT
\end {equation} 
Dies zeigt Abbildung (2).
\begin {center}
\begin {figure}
\centering
\includegraphics[width=12cm]{MagnetZ} \caption{Magnetfeldeichung Zeeman-Effekt} 
\end {figure}
\end {center}

Nach dem wir die Eichung vorgenommen hatten, wendeten wir uns der Messung der durch das Magnetfeld 
verursachten Aufspaltung der Energieniveaus zu.
Wir setzten nun wieder die Kadmium-Lampe anstelle der Hall-Sonde zwischen die Polschuhe und beobachteten 
Linien bestimmter Farbe. 
Diese entsprachen den verschiedenen Ordnungen im Interferenzbildes des Lichtes derjenigen Wellenlänge, 
die vom gerade benutzten Farbfilter durchgelassen wurde.
Bei Erhöhung der Feldstärke sahen wir, dass die Linien in drei äquidistante-Komponenten aufspalteten, 
wobei die Mittlere sich nicht \emph{bewegte}.
Bei diesen handelte es sich also um die $\pi$-Linien.
Um die Übersichtlichkeit des Interferenzbildes zu steigern, wurden diese mithilfe des Polarisationsfilters 
ganz herausgefiltert. 
Als nächstes stellten wir abwechselnd insgesamt sechs mal die Stromstärke (und damit die magnetische Feldstärke) 
auf einen Wert ein, für den uns die $\sigma$ Linien jeweils äquidistant erschienen.
Dies entspricht einem Verhältnis $ \delta \alpha / \Delta \alpha = 1/4 $, siehe Abbildung (3).
\begin {center}
\begin {figure}
\centering
\includegraphics[width=12cm]{delta} \caption{Linienabst"ande} 
\end {figure}
\end {center}
Die jeweiligen Werte von Stromstärke und magnetischer Feldstärke für die verschiedenen Farben enthält 
Tabelle (2).
\begin {center}
\begin {table}[h]
% Table generated by Excel2LaTeX from sheet 'Zeeman-Effekt'
\begin{tabular}{r|rrrrrrrrrr}
    Filter &     $I_{1}$ [A] &     $I_{2}$ [A] &     $I_{3}$ [A] &     $I_{4}$ [A] &     $I_{5}$ [A] &     $I_{6}$ [A] & $\bar I$ [A] & $\Delta \bar I $  [A] &     $B$ [mT] &   $\Delta B $ [mT] \\
\hline
       rot &        9,3 &       10,4 &        9,7 &        9,5 &        9,5 &       10,1 &       9,75 &       0,17 &     457,06 &      12,56 \\
      grün &        7,6 &        8,3 &        7,5 &        7,3 &        7,4 &        7,4 &       7,58 &       0,15 &     372,31 &      12,86 \\
      blau &        5,2 &        5,2 &        5,2 &        5,4 &        5,0 &        5,2 &       5,20 &       0,05 &     257,59 &       4,61 \\
   violett &        5,0 &        5,0 &        4,7 &        5,0 &        4,7 &        5,5 &       4,98 &       0,12 &     246,37 &      11,09 \\
\end{tabular}  
\caption{Zeeman-Effekt} 
\end {table}
\end {center}
\begin {displaymath}
\bar I = \frac {1}{6} \; \sum_{i=1}^{6} \: I_{i}
\end {displaymath}
ist der Mittelwert der $I_{i}$´s und 
\begin {displaymath}
\Delta \bar I = \sqrt { \frac{1}{30} \; \sum_{i=1}^{6} \: (\bar I - I_{i})^{2}}
\end {displaymath}
die Standardabweichung. 
B berechneten wir daraus mit Gleichung (7) und dessen Fehlers mittels Gaußscher Fehlerfortpflanzung: 
\begin {displaymath}
\Delta B = \vert -0,597\,mT/A^{3} \cdot \bar I^{2} + 4,901\,mT/A^{2} \cdot \bar I + 82,24\,mT/A \vert \cdot \Delta \bar I\;. 
\end {displaymath}

Aus einem Vergleich der beobachteten Farbe des jeweils durchgelassenen Lichtes mit Tafel 10 a) aus [2] und dem Termschema vom Kadmium
aus [3] auf Seite 62 schlossen wir, die folgenden optischen Übergänge beobachtet zu haben:

1. Die rote Linie gehört zum Übergang 5\textsuperscript{1}D$_{2} \rightarrow $ 5\textsuperscript{1}P$_{1}$.
Diesem entspricht die Wellenlänge $\lambda = 644,027$\,nm .
Den Gesamtspin beider Zustände ist Null.
Es liegt also der normale Zeeman-Effekt vor.
Gemäß den Auswahlregeln (5) sind je drei $\sigma_{-}$-, $\pi$- und $\sigma_{+}$-Übergänge möglich, 
die jeweils energetisch zusammenfallen.
Man beobachtet also insgesamt nur drei Aufspaltungskomponenten.

2. Die grüne Linie gehört zum Übergang 6\textsuperscript{3}S$_{1} \rightarrow $ 5\textsuperscript{3}P$_{2}$.
Diesem entspricht die Wellelänge $\lambda = 508,725$\,nm. Hier ist der Gesamtspin beider 
Zustände von Null verschieden. 
Wir haben es also mit dem anomalen Zeeman-Effekt zu tun. 
Gemäß den Auswahlregeln (5) gibt es wieder je drei $\sigma_{-}$-, $\pi$- und $\sigma_{+}$-Linien, die jedoch 
energetisch nicht mehr zusammenfallen.
Es gibt also insgesamt neun Linien, die jedoch von der Beobachtungsoptik nicht alle aufgelöst werden konnten, 
da die Energiedifferenzen je zweier $\sigma_{-}$-, $\pi$-  und $\sigma_{+}$-Linien zu gering sind.
Wir haben deshalb auch hier nur drei Aufspaltungskomponenten erkennen können.

3. Die blaue Linie gehört zum Übergang 6\textsuperscript{3}S$_{1} \rightarrow $ 5\textsuperscript{3}P$_{1}$.
Diesem entspricht die Wellenlänge $\lambda = 480,125$\,nm. Der Gesamtspin beider Zustände 
ist auch hier von null verschieden.
Wir haben es also wieder mit dem anomalen Zeeman-Effekt zu tun. 
Gemäß den Auswahlregeln (5) können je zwei $\sigma_{-}$- und $\sigma_{+}$- sowie deren $\pi$-Übergänge vorkommen. 
Auch hier konnten die einzelnen $\sigma_{-}$-, $\pi$-  und $\sigma_{+}$-Linien nicht aufgelöst werden, weshalb 
wir wieder drei Aufspaltungskomponenten beobachteten.

4. Die violette Linie gehört zum Übergang 6\textsuperscript{3}S$_{1} \rightarrow $ 5\textsuperscript{3}P$_{0}$.
Diesem entspricht die Wellenlänge $\lambda = 467,946$\,nm. Auch hier verschwindet f"ur beide 
Zust"ande der Gesamtspin nicht. Es liegt also der anomale Zeeman-Effekt vor. Hier erlauben die Auswahlregeln (5) 
trotzdem jeweils nur eine $\sigma_{-}$-, $\pi$- und $\sigma_{+}$-Linie.

Die Energiedifferenz zweier bezüglich $J$ und $m_{J}$ im Magnetfeld aufgespaltenen Niveaus ist im Falle des 
Zeeman-Effektes gemäß Gleichung (1) gegeben durch 
\begin {equation}
\Delta E_{if} = \mu_{B} B (m_{J}^{i}g_{J}^{i} - m_{J}^{f} g_{J}^{f})\; .
\end {equation} 
Lag der anomale Zeeman-Effekt vor, konnten wir die einzelnen $\sigma_{-}$-, $\pi$- und $\sigma_{+}$-Linien nicht
 auflösen.
Die Linie, die wir stattdessen beobachteten, fällt jedoch mit dem jeweiligen \emph{Linienschwerpunkt} zusammen, 
dessen zugehörige Energiedifferenz definiert ist als 
\begin {equation}
\overline{\Delta E} = \sum_{i,f} \Delta E_{if} \langle J^{f}m_{J}^{f} 1 m_{Ph}\vert J^{i} m_{J}^{i}\rangle ^{2}\;.
\end {equation} 
Dabei sind die $\Delta E_{if}$´s die zu denjenigen Linien gehörenden Energiedifferenzen (8), dessen Schwerpunkt 
berechnet werden soll.
Die Übergänge $\Delta E_{if}$ werden also bei der Schwerpunktsberechnung mit ihren Übergangswahrscheinlichkeiten, 
die durch die Quadrate der Clebsch-Gordan-Koeffizienten $\langle J^{f} m_{J}^{f} 1 m_{Ph}\vert J^{i} m_{J}^{i} \rangle$
gegeben sind, gewichtet.
Mittels Gleichung (9) haben wir die Linienschwerpunkte für die $\sigma_{+}$- bzw. $\sigma_{-}$-Komponenten der 
grünen und der blauen Linie zu 
\begin {displaymath}
\overline{\Delta E_{\pm}} = \pm \mu_{B} B \frac {5}{4} \quad \textnormal{bzw. zu}
 \quad \overline{\Delta E_{\pm}} = \pm \mu_{B} B \frac {7}{4}
\end {displaymath}
berechnet.
Die Rechnungen für die $\sigma_{+}$-Komponenten sind anhand von Tabelle (3) nachvollziehbar.
\begin {center}
\begin {table}[h]
\centering
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
gr"une Kadmium-Linie: \\[2.0ex]
\begin{tabular}{c|cccc}
 & $m_J^i$ & $m_J^f$ & $m_j^i g_{\scriptscriptstyle J}^i-m_J^f g_{\scriptscriptstyle J}^f$ & $(CGK)^2$ \\ \hline
 & 1 & 0 & 2 & $\frac{1}{10}$ \\
$\sigma_{\scriptscriptstyle +}$ & 0 & -1 & $\frac{3}{2}$ & $\frac{3}{10}$ \\
 & -1 & -2 & 1 & $\frac{3}{5}$
 \end{tabular}
\\[4.0ex]
blaue Kadmium-Linie:\\[2.0ex]
\begin{tabular}{c|cccc}
 & $m_J^i$ & $m_J^f$ & $m_j^i g_{\scriptscriptstyle J}^i-m_J^f g_{\scriptscriptstyle J}^f$ & $(CGK)^2$ \\ \hline
 & 1 & 0 & 2 & $\frac{1}{2}$ \\
\raisebox{1.5ex}[-1.5ex]{$\sigma_{\scriptscriptstyle +}$} & 0 & -1 & $\frac{3}{2}$ & $\frac{1}{2}$
\end{tabular}
\caption{Clebsch-Gordan-Koeffizienten} 
\end {table}
\end {center}
Die Energieverschiebungen für die $\sigma_{-}$-Komponenten sind diesen aus Symmetriegründen betragsmäßig gleich.
Die benötigten Clebsch-Gordan-Koeffizienten haben wir der Tabelle auf S.64 aus [3] entnommen.

Um das Bohrsche Magneton mittels Gleichung (8) zu berechnen, müssen wir die Energien $\Delta E_{if}$ der beobachteten 
Übergänge auf anderen Weg erhalten.
Den Frequenzunterschied zweier mit der Lummer-Gehrcke-Platte aufgelösten Linien ist gegeben durch:
\begin {equation}
\delta \nu = \frac{\delta \alpha}{\Delta \alpha} \cdot \frac{c}{2 a \sqrt{n^{2} - 1} } \;.
\end {equation}
Daraus folgt mit $\delta \alpha / \Delta \alpha =  1/4$ und den [1] entnommenen Werten der Lummer-Gehrcke-Platte 
$a = 4,04$\,mm (Dicke) und $n = 1,4567$ (Brechungsindex) 
\begin {displaymath}
\Delta E_{if} = h \; \delta \nu = 5,8045 \cdot 10^{-24}\,J \;.
\end {displaymath}
Durch die Einstellung $\delta \alpha / \Delta \alpha =  1/4$ wird die Übergangsenergiedifferenz für alle 
Übergänge gleich.

Um jetzt das Bohrsche Magneton zu berechnen, lösen wir Gleichung (8) nach $\mu_{B}$ auf:
\begin {equation}
\mu_{B} = \frac{\Delta E_{if}}{(m_{J}^{i} g_{J}^{i} - m_{J}^{f} g_{J}^{f}) B} \; .
\end {equation}
Hieraus können wir durch Einsetzen unserer Messwerte für B aus Tabelle (2) $\mu_{B}$ berechnen.
Dabei müssen wir $(m_{J}^{i} g_{J}^{i} - m_{J}^{f} g_{J}^{f})$ gegebenenfalls gemäß Gleichung (9) durch 
\begin {displaymath}
\sum_{i,f} (m_{J}^{i} g_{J}^{i} - m_{J}^{f} g_{J}^{f}) \; \langle J^{f}m_{J}^{f} 1 m_{Ph}\vert J^{i} m_{J}^{i}\rangle ^{2}
\end {displaymath} ersetzen.
Als Fehler von $\mu_{B}$ erhalten wir mittels Gaußscher Fehlerfortpflanzung 
\begin {displaymath}
\Delta \mu_{B} = \mu_{B} \; \frac{\Delta B}{B}\;.
\end {displaymath} 
Die Ergebnisse unserer Berechnungen für die beobachteten Linien sind in Tabelle (4) dargestellt.
\begin {center}
\begin {table}[h]
\centering
\begin{tabular}{r|ccc}
     Farbe & $(m_{J}^{i} g_{J}^{i} - m_{J}^{f} g_{J}^{f})$ &         $\mu_{B}$ [Am\textsuperscript{2}] &   $\Delta \mu_{B}$ [Am\textsuperscript{2}] \\
\hline
       rot &       1,00 &   1,27 $\cdot 10^{-23}$ &   3,49 $\cdot 10^{-25}$ \\
      grün &       1,25 &   1,25 $\cdot 10^{-23}$ &   4,31 $\cdot 10^{-25}$ \\
      blau &       1,75 &   1,29 $\cdot 10^{-23}$ &   2,30 $\cdot 10^{-25}$ \\
   violett &       2,00 &   1,18 $\cdot 10^{-23}$ &   5,30 $ \cdot 10^{-25}$ \\
\end{tabular}
\caption{Bohrsche Magneton} 
\end {table}
\end {center}
Als Endresultat bilden wir den Mittelwert der $\mu_{B}$´s und berechnen den Fehler mittels Gaußscher 
Fehlerfortpflanzung.
Das ergibt 
\begin {displaymath}
\mu_{B} = ( 12,46 \pm 0,20 )\cdot 10^{-24}\,Am^{2}
\end {displaymath}  
 
Dies weicht vom Literaturwert 
\begin {displaymath}
\mu_{B} = 9,27401 \cdot 10^{-24}\,Am^{2}
\end {displaymath}
um etwa 34\% ab.
Mögliche Ursachen hierfür sind:

1. Die beobachteten Linien ließen sich über einen relativ großen Stromstärkebereich hinweg als äquidistant ansehen.
Ein exakter Wert der Stromstärke (und damit der magnetischen Feldstärke), für den die Linien äquidistant erschienen, 
ließ sich nicht genau festlegen.

2. Wir mussten bei der Berechnung des Bohrschen Magnetons auf Werte aus [1] zurückgreifen, die ohne Fehler angegeben 
sind und die wir nicht überprüfen konnten.

3. Systematische Fehler der Messgeräte, über die wir ebenfalls keine Aussagen treffen können.

Für die Bestimmung des Auflösungsvermögens der Lummer-Gehrcke-Platte verwendeten wir wieder den roten Farbfilter. 
Der restliche Versuchsaufbau blieb unverändert.
Wir haben mehrfach abwechselnd diejenige Stromstärke eingestellt, für die wir eine minimale Aufspaltung sicher 
erkennen konnten.
Diese Werte enthält Tabelle (5). 
\begin {center}
\begin {table}[h]
\begin{tabular}{r|rrrrrrrrrr}
    Filter &     $I_{1}$ [A] &     $I_{2}$ [A] &     $I_{3}$ [A] &     $I_{4}$ [A] &     $I_{5}$ [A] &     $I_{6}$ [A] & $\bar I$ [A] & $\Delta \bar I $  [A] &     $B$ [mT] &   $\Delta B $ [mT] \\
\hline
 rot &        4,1 &        3,9 &        4,1 &        4,2 &        4,0 &        3,9 &       4,03 &       0,08 &     197,54 &       7,43 \\
\end{tabular}  
\caption{Aufl"osungsverm"ogen} 
\end {table}
\end {center}
Wir nahmen als Ablesefehler $ \Delta I_{i} = 0,2\,A$ an.
$\bar I$ ist das arithmetische Mittel der I´s und $\Delta \bar I = \Delta I_{i} / \sqrt{6}$ mittels 
Gaußscher Fehlerfortpflanzung.

Das Auflösungsvermögen einer optischen Instrumentes ist definiert als 
\begin {equation}
A = \frac{\nu}{\Delta \nu}
\end {equation}
In unserem Fall ist $\nu$ die Frequenz der unaufgespaltenen roten Linie und $\Delta \nu$ die Frequenzdifferenz 
der von uns soeben als voneinander getrennt wahrgenommenen $ \sigma $-Komponenten.
Mit $ h \cdot \Delta \nu = 2 \mu_{B} B$ folgt
\begin {equation}
A = \frac{c}{\lambda}\cdot \frac{\hbar}{2 \mu_{B} B} \;.
\end {equation} 
Der Fehler wird nach Gaußscher Fehlerfortpflanzung berechnet durch 
\begin {displaymath}
\Delta A = A \cdot \frac{\Delta B}{B}\;.
\end {displaymath}
Durch einsetzen von B aus Tabelle (5) erhalten wir für das experimentell bestimmte Auflösungsvermögen der 
Lummer-Gehrcke-Platte 
\begin {displaymath}
A = (1,34 \pm 0,5) \cdot 10^{5} \;,
\end {displaymath}
wobei wir für das Bohrsche Magneton den Literaturwert eingesetzt haben.

Das theoretische Auflösungsvermögen einer Lummer-Gehrcke-Platte ist gegeben durch 
\begin {equation}
A_{th.} = \frac{L}{\lambda} (n^{2} - 1 )\;.
\end {equation}
Mit den [1] entnommenen Plattenlänge L = 12\,cm und dem schon vorher benutzten Brechungsindex n = 1,4567 kommen 
wir auf 
\begin {displaymath}
A_{th.} = 2,09 \cdot 10^{5}\;,
\end {displaymath}
etwa das 1,5-fache des experimentell ermittelten Wertes.
Gründe, die in der Praxis das Auflösungsvermögen beeinträchtigen können, sind:

1.Unebenheiten und/oder nicht perfekte Parallelität der Grenzflächen der Lummer-Gehrcke-Platte, beobachtet in 
Form von \emph{Trabantenlinien}.

2. Die nicht perfekte Homogenität des Materials.
 Der Brechungsindex variiert örtlich.
 
3. Die nicht perfekte Homogenität des Magnetfeldes, wodurch die Linien verbreitert werden.

Auch hier wurden die Werte der Lummer-Gehrcke-Platte aus [1] übernommen.

\subsection {Paschen-Back-Effekt von Helium}

Zur Untersuchung des Paschen-Back-Effektes am Beispiel der gelben Helium-Linie gingen wir wie folgt vor. 
Wir platzierten dieses Mal eine Helium-Dampf-Lampe zwischen die in Feldrichtung durchbohrten Polschuhe eines 
anderen Elektromagneten.
Beobachtet wurde sowohl in transversaler als auch in longitudinaler Richtung, relativ zu den Feldlinien gesehen.
Anstelle der Lummer-Gehrcke-Platte diente uns nun ein Fabry-Perot-Interferometer zur spektralen Zerlegung des 
von der Lampe emittierten Lichtes. 
Das entstehende Interferenzbild wurde wie im ersten Versuchsteil durch ein Fernrohr beobachtet. 
Das emittierte Licht wurde vor dem Eintritt in das Interferometer mithilfe eines gelben Farbfilters 
monochromatisiert und beim Durchgang durch die Feldlinse gebündelt. 
Des weiteren bestand auch hier wieder die Möglichkeit, mithilfe eines Polarisationsfilters eine 
Polarisationskomponente des Lichtes herauszufiltern. 
Wir beobachteten zuerst in longitudinaler Richtung.
Zur Justierung der Beobachtungsoptik entfernten wir zunächst die Helium-Dampf-Lampe und stellten vor 
die auf der gegenüberliegende Seite des Magneten liegende Öffnung der Bohrung, die gleichzeitig als 
Kollimator diente, eine andere Kadmium-Lampe, da die Helium-Lampe nie länger als zwei Minuten ununterbrochen 
in Betrieb sein durfte.

Als nächstes nahmen wir wieder eine Eichung der magnetischen Feldstärke vor. Dazu verfuhren wir genauso wie 
im ersten Versuchsteil.
Die Ergebnisse zeigen Tabelle (6) und Abbildung (4).
% Table generated by Excel2LaTeX from sheet 'Magneteichung Paschen-Back'
\begin {center}
\begin {table}[h]
\begin{tabular}{r|rrrrrrrr} 

     I [A] & $U_{1}^{\uparrow}$ [Skt] & $U_{1}^{\downarrow}$ [Skt] & $U_{2}^{\uparrow}$ [Skt] & $U_{2}^{\downarrow}$ [Skt] &  $\bar U$ [Skt] & $\Delta \bar U$ [Skt] &    $ B$ [mT] &   $\Delta B$ [mT] \\
\hline
       0,0 &        0,0 &        0,0 &        0,0 &        0,0 &       0,00 &       0,15 &       0,00 &       1,47 \\
       0,5 &       12,0 &       13,8 &       13,0 &       13,7 &      13,13 &       0,15 &     128,49 &       1,47 \\
       0,6 &       15,0 &       16,4 &       15,8 &       16,5 &      15,93 &       0,15 &     155,91 &       1,47 \\
       0,7 &       18,2 &       19,5 &       18,0 &       19,5 &      18,80 &       0,15 &     184,05 &       1,47 \\
       0,8 &       20,5 &       22,0 &       20,5 &       22,0 &      21,25 &       0,15 &     208,04 &       1,47 \\
       0,9 &       23,0 &       24,5 &       23,5 &       25,0 &      24,00 &       0,15 &     234,96 &       1,47 \\
       1,0 &       25,5 &       26,8 &       25,8 &       27,0 &      26,28 &       0,15 &     257,23 &       1,47 \\
       1,1 &       28,0 &       29,8 &       28,0 &       29,8 &      28,90 &       0,15 &     282,93 &       1,47 \\
       1,2 &       30,5 &       32,1 &       30,5 &       32,3 &      31,35 &       0,15 &     306,92 &       1,47 \\
       1,3 &       33,5 &       35,0 &       33,8 &       35,0 &      34,33 &       0,15 &     336,04 &       1,47 \\
       1,4 &       35,8 &       37,5 &       35,8 &       37,5 &      36,65 &       0,15 &     358,80 &       1,47 \\
       1,5 &       37,8 &       39,8 &       38,0 &       40,0 &      38,90 &       0,15 &     380,83 &       1,47 \\
       1,6 &       40,0 &       42,2 &       40,2 &       42,5 &      41,23 &       0,15 &     403,59 &       1,47 \\
       1,7 &       42,3 &       42,5 &       42,5 &       42,5 &      42,45 &       0,15 &     415,59 &       1,47 \\
       1,8 &       44,3 &       46,3 &       44,5 &       46,3 &      45,35 &       0,15 &     443,98 &       1,47 \\
       1,9 &       46,0 &       48,0 &       46,0 &       48,0 &      47,00 &       0,15 &     460,13 &       1,47 \\
       2,0 &       48,0 &       49,0 &       47,8 &       49,0 &      48,45 &       0,15 &     474,33 &       1,47 \\
       2,1 &       49,0 &       50,0 &       49,0 &       50,0 &      49,50 &       0,15 &     484,61 &       1,47 \\
       2,2 &       50,0 &       51,0 &       50,0 &       51,0 &      50,50 &       0,15 &     494,40 &       1,47 \\
       2,3 &       51,5 &       51,8 &       51,5 &       51,8 &      51,65 &       0,15 &     505,65 &       1,47 \\
       2,4 &       52,0 &       52,2 &       52,0 &       52,3 &      52,13 &       0,15 &     510,30 &       1,47 \\
       2,5 &       52,8 &       52,8 &       53,0 &       53,0 &      52,90 &       0,15 &     517,89 &       1,47 \\
\end{tabular}
\caption{Magnetfeldeichung Paschen-Back-Effekt} 
\end {table}
\end {center}  
\begin {center}
\begin {figure}
\centering
\includegraphics[width=12cm]{MagnetB} \caption{Magnetfeldeichung Paschen-Back-Effekt} 
\end {figure}
\end {center}
Im Unterschied zu vorher haben wir hier lediglich einen geringeren Ablesefehler für die Stromstärke von 0,01\,A 
angenommen, da sich das nun verwendete Messgerät wesentlich genauer Ablesen ließ.
Die magnetische Feldstärke lässt sich demnach in Abhängigkeit der Stromstärke darstellen durch  
\begin {equation}
B(I) = - 23,10\,mT/A^{3} \cdot \bar I^{3} +  45,70\,mT/A^{2} \cdot \bar I^{2} + 236,43\,mT/A \cdot \bar I + 1,08\,mT \;.
\end {equation}

Anschlie"send entfernten wir die Kadmium-Lampe und setzten erneut die Helium-Lampe ein.
Mit wachsender magnetischer Feldstärke beobachteten wir eine Aufspaltung in zwei konzentrische Kreise.
Wir stellten analog zum ersten Versuchsteil, abwechselnd mehrfach die Stromstärke ein, für die uns die 
Kreislinien als äquidistant erschienen, was wieder einem Verhältnis von $\delta \alpha / \Delta \alpha =  1/4$ entspricht. 
 Daraus haben wir dann wieder den Mittelwert gebildet und dessen Fehler dieses Mal als Standardabweichung 
\begin {displaymath}
\Delta \bar I = \sqrt{\frac{1}{30} \; \sum_{i = 1}^{6}\,(\bar I - I_{i})^{2}}
\end {displaymath}
 berechnet.
Die magnetische Feldstärke haben wir daraus mit Gleichung (15) und deren Fehler mittels 
\begin {displaymath}
\Delta B = \vert -69,31\,mT/A^{3} \cdot \bar I^{2} + 91,40\,mT/A^{2} \cdot \bar I + 236,43\,mT/A \vert \cdot \Delta \bar I \;.
\end {displaymath}
 kalkuliert.
Die Resultate sind in Tabelle (7) dargestellt. 
\begin {center}
\begin {table}[h]
\begin{tabular}{r|rrrrrrrrrr}
  &     $I_{1}$ [A] &     $I_{2}$ [A] &     $I_{3}$ [A] &     $I_{4}$ [A] &     $I_{5}$ [A] &     $I_{6}$ [A] & $\bar I$ [A] & $\Delta \bar I $  [A] &     $B$ [mT] &   $\Delta B $ [mT] \\
\hline
longitudinal &       1,15 &       1,09 &       1,18 &       1,21 &       1,16 &       1,13 &       1,15 &       0,02 &     299,11 &       4,21 \\
transversal &       1,23 &       1,35 &       1,35 &       1,37 &       1,21 &       1,17 &       1,28 &       0,04 &     330,13 &       8,47 \\ 
\end {tabular}
\caption{Paschen-Back-Effekt} 
\end {table}
\end {center}

Jetzt erweiterten wir die Beobachtungsoptik um ein $\lambda /4$-Plättchen, um die Polarisation der beiden 
Aufspaltungskomponenten zu untersuchen.
Wie bereits erwähnt sollten diese zirkular bezüglich der Feldrichtung polarisiert sein, wobei die 
$\sigma_{+}$-Komponente, der dem Kreis mit größeren Radius entspricht, rechts- und die $\sigma_{-}$-Komponente 
linkszirkular polarisiert sein sollte.

Bei rechtszirkular polarisiertem Licht ist die horizontale Komponente gegenüber der vertikalen, bei linkszirkular 
polarisiertem Licht ist die vertikale Komponente gegenüber der horizontalen Komponente um $\pi/2$ verzögert.
Tritt nun rechtszirkular polarisiertes Licht mit der horizontalen Komponente entlang der \emph{schnellen} Achse in das 
$\lambda /4$-Plättchen, so wird der Phasenunterschied aufgehoben, und heraus kommt linear polarisiertes Licht mit 
einem Polarisationswinkel von $+45^{\circ}$. 
Tritt hingegen linkszirkular polarisiertes Licht mit der horizontalen Komponente entlang der \emph{schnellen} Achse in 
das $\lambda /4$-Plättchen, so erhöht sich der Phasenunterschied auf $\pi$, und heraus kommt linear polarisiertes 
Licht mit einem Polarisationswinkel von $-45^{\circ}$.

Wir stellten den Polarisationsfilter so ein, daß er die Komponente mit einem Polarisationswinkel von $-45^{\circ}$ 
durchließ und die dazu senkrechte mit einem Polarisationswinkel von $+45^{\circ}$ herausfilterte.
Dabei verschwand die $\sigma_{-}$-Komponente.
Diese hatte somit einen Polarisationswinkel von $+45^{\circ}$, war zuvor also rechtszirkular polarisiert.
Wir haben also gegen die Feldrichtung beobachtet.

Anschließend beobachteten wir, jetzt ohne $\lambda /4$-Plättchen, in transversaler Richtung.
Wir sahen dieses Mal eine Aufspaltung in drei Kreisringe mit steigender Feldstärke.
Den Mittleren, der seinen Radius beibehielt und der $\pi$-Komponente entspricht, filterten wir heraus. 
Die Stromstärke stellten wir wieder abwechselnd mehrfach so ein, dass uns die verbleibenden konzentrischen 
Kreise äquidistant erschienen.
Den entsprechenden Wert der magnetischen Feldstärke sowie dessen Fehler berechneten wir genauso wie bei 
longitudinaler Beobachtung. 
Das Ergebnis ist ebenfalls in Tabelle (7) enthalten.
Wir haben nur die gelbe Helium-Linie beobachtet. Aus einem Vergleich der Farbe mit dem Niveauschema von 
Helium aus [3] Seite 63 und 
Tafel 10 a) aus [2] schlossen wir, dass diese dem optischen Übergang 2\textsuperscript{1}P$_{1} \rightarrow $
 1\textsuperscript{1}S$_{0}$ entspricht.
Bei diesem verschwindet der Gesamtspin. Die Größe der durch das Magnetfeld verursachten Energieaufspaltung 
ist deshalb nach den Gleichungen (1) und (2) gegeben durch 
\begin {equation}
\Delta E = \mu_{B} B m_{L}\;.
\end {equation}
Es liegt hier also der normale Zeeman-Effekt als Spezialfall des Pasche-Back-Effektes vor.

Unser Ziel ist nun mittels Gleichung (16) , mit dem Wert der magnetischen Feldstärke aus Tabelle (7) die 
spezifische Elementarladung e/m zu bestimmen. 
Wie schon bei der Bestimmung des Bohrschen Magnetons im ersten Versuchsteil ist es auch hier wieder notwendig, 
die Größe der Energieaufspaltung $\Delta$E auf anderem Wege zu erhalten. Der Frequenzunterschied zweier mit 
einem Fabry-Perot-Interferometer aufgelösten Linien ist gegeben durch 
\begin {equation}
\delta \nu = \frac{\delta \alpha}{\Delta \alpha} \cdot \frac{c}{2 \, n \, d} \;,
\end {equation}
wobei d der Plattenabstand 
und n der Brechungsindex der Luft zwischen den Platten ist. 
Mit dem [3] entnommenen Werten $ d = (8 \pm 0,005)\,mm$ und $n \approx 1$ sowie $\delta \alpha / \Delta \alpha =  1/4$
 erhalten wir für die beobachtete Energieaufspaltung 
\begin {displaymath}
\Delta E = h \cdot \delta \nu = 3,1038 \cdot 10^{-24}\,J \pm 1,9399 \cdot 10^{-27}\,J\;.
\end {displaymath}
Den Fehler dafür haben wir mittels Gaußscher Fehlerfortpflanzung berechnet. 
Wir setzen jetzt Gleichung (3) in Gleichung (16) ein, ersetzen $m_{L}$ durch $\Delta m_{L}$ und lösen nach $e/m$ auf. 
Das ergibt 
\begin {equation}
\frac {e}{m_{e}} = \frac{2 \, \Delta E}{\hbar \, \Delta m_{L} \, B}\;.
\end {equation}
Für den Fehler erhalten wir, wieder einmal mittels Gaußscher Fehlerfortpflanzung, 
\begin {displaymath}
\Delta \Bigl( \frac{e}{m_{e}} \Bigr) = \sqrt {\biggl( \frac{2}{\hbar \, \Delta m_{L} \, B} \cdot \Delta 
E \biggr)^{2} + \biggl( -\frac{2\, \Delta E}{\hbar \, \Delta m_{L} \, B^{2}} \cdot \Delta B \biggr)^{2} }\;.
\end {displaymath}
Mit $|\Delta m_{L}| = 1 $ für optische $\sigma$-Übergänge erhalten wir für den für longitudinale Beobachtung ermittelten Wert 
der magnetischen Feldstärke 
\begin {displaymath}
\frac{e}{m_{e}} = (1,9679\pm 0,0277) \cdot 10^{11}\,C/kg
\end {displaymath}
und für den für transversale Beobachtung ermittelten Wert 
\begin {displaymath}
\frac{e}{m_{e}} = (1,7830 \pm 0,05458 ) \cdot 10^{11}\,C/kg\;.
\end {displaymath}
Wir haben uns zunächst für diesen Weg entschieden, da die einzelnen Messwerte der Stromstärke für longitudinale 
und für transversale Beobachtung untereinander jeweils recht nahe beieinander, für beide Beobachtungsrichtungen 
jedoch recht weit auseinander lagen. 
Dies könnte daher rühren, dass wir beim Wechsel von longitudinaler zu transversaler Beobachtungsrichtung die 
Beobachtungsoptik neu justierten um die Qualität der Abbildung zu verbessern.
Der \emph{zweite} Wert für $e/m_{e}$ liegt auch wesentlich näher am Literaturwert 
\begin {displaymath}
\frac{e}{m_{e}} = 1,75881962 \cdot 10^{11}\,C/kg\;.
\end {displaymath}
Die Abweichung beträgt nur ca. 1,37\% und der Literaturwert liegt deutlich innerhalb unserer Fehlerschranken.
Als mögliche Fehlerquellen sind hier im Wesentlichen die Gleichen wie im ersten Versuchsteil zu nennen. 
Die Fehler der Lummer-Gehrcke-Platte sind hier natürlich durch die des Fabry-Perot-Interferometers zu ersetzen.
Hinzu kam hier als Fehlerquelle die von uns zu verwendende Feldlinse. 
Diese mussten wir \emph{schief} stellen, um überhaupt etwas erkennen zu können. 
Die zu erwartenden Abbildungsfehler machten sich in einer diagonalen Verzerrung des Interferenzbildes bemerkbar.
Dadurch variierten die Abstände zwischen den Ringen mit der Richtung, in der man sie betrachtete.
Wenn bei einer bestimmten eingestellten Stromstärke die Ringe in einer bestimmten Richtung äquidistant erschienen, 
überschnitten sie sich bereits in der dazu senkrechten Richtung. 
Dadurch war ein gleichmäßiges Muster nur schwer einzustellen.

\begin{thebibliography}{3}
[1] K. Weber: Optische Untersuchungen von Atomen im
magnetischen Feld (Staatsexamensarbeit) 

[2] D. Meschede: Gerthsen Physik, Springer-Verlag, 21. Auflage (2001)

[3] Physikalisches Praktikum für Fortgeschrittene Teil I, Versuchsbeschreibungen, Universität Bonn (Juli 2005)
\end{thebibliography}

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