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\author{Henning Schories und Philipp Spiekermann}
\title{Optisches Pumpen}
\date{21.11.2005}
\newcommand{\grad}{^{\circ}}
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\newcommand{\frspr}{\textit}
\newcommand{\fig}[4]{\begin{figure}[htbp]\begin{center}\includegraphics[width=#4]{#1}\end{center}\caption{#2}\label{#3}\end{figure}}
\newcommand{\taba}[1]{\begin{table}[htb]\begin{center}\begin{tabular}{#1}}
\newcommand{\tabe}[2]{\end{tabular}\end{center}\caption{#2}\label{#1}\end{table}}
%\fig {name} {caption} {label} {12 cm}
\begin{document}

\maketitle

Optisches Pumpen ist eine Methode zum gezielten Umbesetzen von Energiniveaus durch Einstrahlen von polarisiertem Licht bestimmter Frequenz.
Mit dieser Methode wird in diesem Versuch die Isotopenverteilung von $^{85}Rb$ und $^{87}Rb$ sowie deren Landé-Faktoren der Hyperfeinstruktur 
($g_{F}$) und Kernspins bestimmt.

\section {Theoretische Grundlagen}

\subsection {Feinstruktur und Hyperfeinstruktur}
In einem Atom besitzen die Elktronen einen Spin $\vec S$ und einen Bahndrehimpuls $\vec L$, sowie der Atomkern den 
Kernspin $\vec I$.
Spin und Bahndrehimpulse verursachen magnetische Momente $\vec \mu$ und k"onnen miteinander wechselwirken, weswegen sich
mehrere Energie-Niveaus des Atoms herausbilden.\\
Die Kopplung von $\vec L$ und $\vec S$ erzeugt die Feinstruktur $ \vec J = \vec L + \vec S$ mit dem magnetischen Moment
$\vec \mu_{J} = g_{J} \hbar \mu_{B} \vec J$, wobei $\mu_{B}$ das Bohrsche Magneton ist.\\
Die Kopplung von $J$ und $I$ erzeugt die Hyperfeinstruktur $ \vec F = \vec J + \vec I$ mit dem magnetischen Moment
$\vec \mu_{F} = g_{F} \hbar \mu_{B} \vec F$, wobei $g_{F}$ der Landé-Faktor der Hyperfeinstruktur ist.
Die Quantenzahlen ($J, F$) von $\vec J$ und $\vec F$ k"onnen nur diskrete Werte annehmen und verursachen so diskrete
 Energieniveaus.
Es gilt:
$$
J = L + S , |L+S-1|, ..., |L-S| \quad  F = J+I, |J+I-1|, ... , |J-I|
$$
Die Erwartungswerte $m_{F}$ von $F$ gegen"uber einer Vorzugsrichtung, welche durch ein "ausseres Magnetfeld definiert 
werden kann, kann ebenfalls nur diskrete Werte annehmen: $m_{F} = F , F-1, ... , -F$, wobei den verschiedenen 
$m_{F}$-Werten unterschiedliche Energie-Niveaus entsprechen. 
Definiert man eine Vorzugsrichtung durch Anlegen eines schwachen "ausseren Magnetfeldes $H$, so spaltet ein 
Hyperfein-Niveau also in mehrere Unterniveaus auf und es gilt f"ur den Energieunterschied zweier $m_{F}$-Niveaus:
\begin {equation} \label{Energie}
\Delta E = g_{F}\: \mu_{B} \: \Delta m_{F} \:H
\end {equation}
Dies nennt man den Zeeman-Effekt der Hyperfeinstruktur, welcher bei schwachen Magnetfeldern vorliegt.
Bei st"arkeren Magnetfeldern bricht die $L-S$-Kopplung auf und man beobachtet den Paschen-Back-Effekt, f"ur den die 
Energieniveaus andere Werte annehmen. \\
Im gesamten Versuch kommt nur der Zeeman-Effekt zum Einsatz.

\fig {Termschema} {Termschema von $^{87}Rb$} {lafgh} {12 cm}

\subsection{ Optisches Pumpen}
Durch Einstrahlung von Licht gewisser Wellenl"ange k"onnen "Uberg"ange zwischen den Energieniveaus angeregt werden, 
deren Energiedifferenz der Wellenl"ange des Lichtes entspricht.
Bei einem "Ubergang verursacht links- bzw. rechts-polarisiertes Licht eine "Anderung des $m_{F}$-Wertes von -1 bzw. +1.\\
Angeregte Atome (deren Elektronen sich nicht im niedrigsten Energieniveau befinden), k"onnen "uber spontane
Emission in den Grundzustand "ubergehen, sogenannte optische "Uberg"ange, wobei nur "Uberg"ange gem"a"s den 
Auswahlregeln erlaubt sind:
$$ \Delta m_{F} = 0 , \pm 1 $$
Alle drei nach den Auswahlregeln m"oglichen "Uberg"ange kommen gleichwahrscheinlich vor.
Wird nun z.B. rechtspolarisiertes Licht eingestrahlt, so erh"oht sich die durchschnittliche $m_{F}$-Quantenzahl 
aller Atome, da rechtspolarisiertes Licht "Uberg"ange mit $\Delta m_{F} = +1$ induziert.
Gehen nun die Atome durch optische "Uberg"ange in den Grundzustand "uber, so "andert sich, solange alle optischen 
"Uberg"ange m"oglich sind, der durchschnittliche $m_{F}$-Wert nicht, da ja alle erlaubten "Uberg"ange 
gleichwahrscheinlich sind.
Das System erh"oht also unter Einstrahlung von rechtspolarisierten Licht nach und nach die $m_{F}$-Quantenzahl eines 
jeden Atom, bis eine weitere Anregung mit $\Delta m_{F} = +1$ aufgrund fehlender Niveaus nicht mehr m"oglich ist.\\
In dem abgebildeten Termschema w"are dieser Endzustand bei $^{2}S_{1/2}; F=2; m_{F}=+2$ erreicht, wenn rechtspolarisiertes
Licht eingestrahlt wird, welches mit entsprechender Wellenl"ange nur den $D_{1}$-"Ubergang induzieren kann.
Befinden sich alle Atome in diesem Endzustand, so ist das System gepumpt.

\section{Theoretische Aufgaben}

\subsection{Einstein-Koeffizienten} \label{Einstein}
Zur Beschreibung des Verhaltens eines 2-Niveau Atoms (Niveau 1: Grundzustand; Niveau 2: angeregter Zustand) 
in einem Strahlungsfeld kann folgender Ansatz für die Absorption und Emissionsraten gemacht werden:
$$
\textnormal{Absorptionsrate: }\; W_{abs} = B_{12} \cdot \rho
$$ $$
\textnormal{Emissionsrate: }\; W_{em} = A_{21} + B_{21} \cdot \rho
$$
Hierbei ist $\rho$ die spektrale Energiedichte des Strahlungsfeldes.  $B_{12}$, $A_{21}$ und $B_{21}$ sind die 
Einstein-Koeffizienten für Absorption (Niveau 1 $\to$ 2), spontane Emission (2 $\to$ 1) und 
für induzierte Absorption (2$\to$ 1).
$A_{21}$ kann als das Inverse der Niveaulebensdauer $\tau$ aufgefasst werden.
Befindet sich nun eine Gruppe von Atomen im thermischen Gleichgewicht, so gehen einmal gleich viele Atome 
in den Grundzustand über, wie Atome ihn verlassen und die Besetzungs-Verteilung der Zustände ist durch die 
Maxwell Verteilung gegeben: 
\begin {equation} \label{1}
W_{abs} \cdot N_{2} = W_{em} \cdot N_{1} \quad \to \quad \frac {N_{2}}{N_{1}}=\frac{A_{21}}{B_{12}\rho}+ 
\frac{B_{21}}{B_{12}}
\end {equation} 
$$
\textnormal{Maxwell: } \quad \frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{g_{2}}{g_{1}} e^{-\frac{\Delta E}{kT}} \quad ; \; 
\textnormal{thermisches Gleichgewicht:}\; g_{2}B_{21} = g_{1}B_{12}
$$ 
\begin {equation} \label {2}
\to \frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{B_{21}}{B_{12}} e^{\frac{h \nu}{kT}}
\end {equation}
Die Faktoren $g_{i}$ sind das statistische Gewicht der Niveaus, gegeben durch $g_{i}= 2 J_{i}+1$
(J = Drehimpuls des Atoms).
Da $\Delta E$ durch das Einstrahlen eines elektromagnetischen Feldes geeigneter Frequenz realisiert wird, 
kann es durch $h\nu$ ersetzt werden.\\
Ferner gilt $B_{21} = B_{12}$. 
Gem"a"s dem Planck'schen Strahlungsgesetz f"ur thermische Emission eines schwarzen K"orpers kann die 
spektrale Energiedichte beschrieben werden mit:
$$
\rho(\nu,T)=\frac{8\pi h \nu^{3}}{c^{3} \; e^{\frac{h \nu}{kT}}-1}
$$
Setzt man nun Gleichung \ref{1} mit \ref{2} gleich und verwendet das Plank'sche Strahlungsgesetz f"ur $\rho$, so 
erh"alt man f"ur den Einstein Koeffizienten $B$:
$$
B = \frac{c^{3}}{8 \pi h \nu^{3}}A_{21} = \frac{\lambda^{3}}{8 \pi h \tau}
$$

\subsection {Linearer Absorptionskoeffizient}
Denkt man sich nun $\de N$ absorptionsf"ahige Atome im Wegst"uck $\de s$, so kann die r"aumliche Energieabnahme 
des eingestrahlten Feldes 
beschrieben werden zu:
$$
\de E = - h \nu W_{abs} \;\de N
$$
Die Intensit"at und entsprechend die Energie nimmt beim Durchgang durch ein Gas exponentiell ab:
\begin{equation} \label {Lamb}
E(s) = E_{0} \; e^{-\kappa s}\; ,
\end {equation}
was mit dem Lambert-Beerschen-Gesetz verkn"upft ist:
$$
\de E = - \kappa E \;\de s
$$
Setzt man nun beide Formeln f"ur $\de E$ gleich und stellt nach $\kappa$ frei, so erh"alt man:
$$
\kappa = \frac{h \nu W_{abs} \; \de N}{E \; \de s}
$$
Die Enegie $E$ kann nun als Produkt der Energiestromdichte (Poynting-Vektor $S$) mit der durchstrahlten 
Fl"ache $A$ berechnet werden:
$$
E = S A = \rho c \nu_{D} \; A
$$
$\rho$ ist wieder die spektrale Energiedichte, w"ahrend $\nu_{D}$ f"ur die Dopplerbreite und $c$ f"ur die 
Lichtgeschwindigkeit steht.
Ersetzt man nun $E$ durch diesen Ausdruck und $W_{abs}$ durch $\frac{\lambda^{3} \rho}{8 \pi h \tau}$ 
(siehe \ref{Einstein}), 
so gilt f"ur den linearen Absorptionskoeffizient:
\begin {eqnarray}
\kappa & = & \frac{h \nu \frac{\lambda^{3} \rho}{8 \pi h \tau} \; \de N}{\rho c \nu_{D} A \; \de s} \nonumber \\
 & = & \frac {\lambda^{2} \; \de N}{8 \pi \tau \nu_{D} \; \de V} \nonumber
\end {eqnarray}

\subsection {Mittlere freie Wegl"ange eines Photons}
Die mittlere freie Wegl"ange $\Lambda$ eines Photons kann als die Strecke interpretiert werden, nach der die Lichtintensit"at 
auf $1/e$ abgesunken ist, was gem"a"s Gleichung \ref{Lamb} nach 
$$
\Lambda = \frac 1 {\kappa} = \frac {8 \: \pi \tau \nu_{D}\:  V}{\lambda^{2}\: N}
$$
der Fall ist. Betrachten wir nun das $^{2}P_{1/2}$ und das $^{2}S_{1/2}$Niveau von Rubidium,  
deren Energiedifferenz die $D_{1}$-Linie ( $\lambda = 749,76\,$nm) verursacht, so k"onnen folgende Angaben gemacht werden:
\begin {itemize}
\item Die Lebensdauer des h"oheren Niveaus betr"agt $\tau = 10\,$ns.
\item Die Masse von Rubidium betr"agt $m_{Rb}= 1,421\cdot 10^{-25}\,$kg, im Versuch wird eine f"ur Rubidium g"unstige 
Arbeitstemperatur von $T=43\grad C = 316\,$K verwendet.
\item Die Dopplerbreite berechnet sich in diesem Fall zu:
$$
\nu_{D} = \nu_{0} \sqrt{\frac{kT}{m_{Rb}c^{2}}} = 220,34\,\textnormal{MHz}
$$
\item Anhand der allgemeinen Gasgleichung ($pV=NkT$) und folgendem Ansatz f"ur den Druck
$$
\log (p [Torr]) = -A/T+B $$ 
$$
\textnormal{f"ur $Rb$ im Phasensystem fest/gasf"ormig: } A = 4503,74 \textnormal{K}\;
 B=8,21 \; T=316\textnormal{K}
$$
folgt
\begin {equation} \label{nT}
\frac V N = \frac {k T}{133,28\cdot10^{-A/T+B}} = 3,73\cdot 10^{-17}\,\textnormal{m}^{3}
\end {equation}
\end{itemize}
Die mittlere freie Wegl"ange eines Photons ergibt sich somit zu
$$
\Lambda = 3,16 \,\textnormal{cm} \; ,
$$
was vergleichbar mit der Gr"o"se der Absorptionszelle von ungef"ahr 5\,cm ist. 

\subsection {spektrale Energiedichte und Absorptionsverm"ogen}
Die Leistungsdichte des die Absorptionszelle durchdringenden Lichtstrahls wird mit dem Mittelwert des 
Poynting-Vektors zu $S = \rho c \nu_{D} = 15 \frac{\mu\textnormal{W}}{\textnormal{cm}^{2}}$ angegeben.
$$
\to \rho = \frac S {c\nu_{D}} = 2,264 \cdot 10^{-18} \frac {\textnormal{J}}{\textnormal{m}^{3}}
$$
Die Absorptionsrate ergibt sich damit zu
$$
W_{abs}= B \rho = \frac {\lambda^{3} \rho}{8\pi h\tau} = 6823 \,\textnormal{Hz}
$$
Dies bedeutet, da"s ca. 6823 Photonen von einem Atom pro Sekunde absorbiert werden.

\subsection{Mittlere freie Wegl"ange eines Rubidium-Atoms}
Um nun optisches Pumpen durchf"uhren zu k"onnen, mu"s der Pumpvorgang schneller stattfinden als die Relaxation der Atome, 
was z.B. durch St"o"se der Rubidium-Atome mit den Gef"a"sw"anden oder anderen Atomen verursacht wird.
Die Absorptionsrate sollte also wesentlich h"oher sein, als eine Sto"srate, welche aus der mittleren 
freien Wegl"ange der $Rb$-Atome resultiert.
Der gaskinetische Querschnitt eines Rubidium-Atoms betr"agt $\sigma_{Rb}=5,8 \cdot 10^{-15}\,\textnormal{cm}^{2}$, 
womit die mittlere freie Wegl"ange abgesch"atzt werden kann zu:
$$
\Lambda_{Rb}=\frac 1 {n \sigma} = 64,27\,\textnormal{m} \quad ;\textnormal{bei }T = 43\grad \textnormal{C}
$$
Die mittlere Geschwindigkeit betr"agt bei der oben genannten Temperatur:
$$
\bar v = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_{Rb}}} = 279,6 \frac{\textnormal{m}}{\textnormal{s}} 
$$
Somit ereignen sich also ca. 5592 St"o"se pro Sekunde zwischen Rubidium-Atom und den W"anden der Absorptionszelle, 
deren Gr"o"se mit 5\,cm angesetzt wurde.

Da die Atome fast genauso schnell an den W"anden relaxieren, wie sie durch Absorption eines Photons gepumpt werden, 
ist es sinnvoll die Absorptionszelle mit einem Puffergas zu bef"ullen, dessen Eigenschaft es ist bei St"o"sen mit den 
$Rb$-Atomen die Polarisation Letzterer nur sehr selten zu ver"andern und 
dadurch die Anzahl der Relaxation verursachenden St"o"se zu vermindern. 
Diese Eigenheit besitzen Edelgase, welche bei Sto"s aufgrund ihrer abgeschlossenen Schalen kaum eine 
Spinausrichtungs"anderung bewirken.

\subsection{Relaxationszeit bei der Verwendung von Helium als Puffergas}
Helium besitzt einen Depolarisationsquerschnitt $\sigma_{depol}$ von $6,2 \cdot 10^{-23}$cm$^{2}$ und
eine Diffusionskonstante $D_{0}$ von $0,54\,\frac{\textnormal{cm}^{2}}{\textnormal{s}}$ bei Atmosph"arendruck.
Um durch eine Helium Schicht der Dicke $d$ und dem Gasdruck $p$ zu diffundieren ben"otigt ein Rubidium Atom  
$\tau_{Diff} = \frac{d^{2}\:p [\textnormal{atm}]}{6 D_{0}}\,$ Sekunden.
Unter der Annahme einer Helium-F"ullung von 1\,mbar = $9,87\cdot10^{-4}\,$atm ergibt sich eine Diffusionszeit von
einer Absorptionszellenwand zur Anderen (Abstand 5\,cm) von $\tau_{Diff}=$0,0076\,s.
Die ´´Wandsto"srate´´ eines $Rb$-Atoms betr"agt somit ungef"ahr 132\,Hz, was deutlich weniger ist als 5592\,Hz
ohne Puffergas.
Die Heliumdichte bei 1\,mbar ist $n=p/kT=2,29\cdot10^{22}\,\textnormal{m}^{-3}$, woraus eine mittlere freie Wegl"ange 
zwischen zwei depolarisierenden St"o"sen von
$$
\Lambda{depol} = \frac 1 {\sigma_{depol}n} = 704\,\textnormal{km}
$$
folgt.
Nun wird nur noch die mittlere Relativgeschwindigkeit $\bar v_{rel}$ zwischen einem Helium- und Rubidium-Atom ben"otigt,
 um die Zeit zwischen zwei depolarisierenden St"o"sen berechnen zu k"onnen:
\begin{eqnarray}
\bar v_{rel} &=& \overline{\vert v_{Rb}-v_{He}\vert} \quad ;\overline{v^{2}} =\frac {3kT} m \; ; \bar v^{2} = \frac {8kT}{\pi m} \nonumber \\
 	&=& \sqrt{\overline{v_{Rb}}^{2} - \frac{\pi 3} 4 \overline{v_{Rb}}\:\overline{v_{He}} + \overline{v_{He}}^{2}} \nonumber \\
 & &\qquad \qquad ; \overline{v_{i}} = \sqrt{\frac {8kT}{\pi m_{i}}} \nonumber \\
 & = & 947,77 \frac {\textnormal{m}}{\textnormal{s}} \nonumber
\end {eqnarray}
Somit folgt:
$$
\tau_{depol}= \frac{\Lambda_{depol}}{\bar v_{rel}} = 742,8\,\textnormal{s}
$$
Die Zeit zwischen zwei Depolarisationen ist also mit Helium bei 1\,mbar als Puffergas ausreichend gro"s, damit
gen"ugend Photonen f"ur das optische Pumpen absorbiert werden.

\subsection{ Vergleich der Linienbreiten}
Die nat"urliche Linienbreite des $^{2}P_{1/2}$ nach $^{2}S_{1/2}$ "Ubergang betr"agt aufgrund der Lebenszeit $\tau$ des 
P-Niveaus von 10\,ns
$$
\Delta\nu_{n} = \frac 1 {2 \pi \tau} = 15,9 \textnormal{MHz} \; .
$$
Die Dopplerverbreiterung betr"agt hingegen
$$
\nu_{D} = 220,34 \textnormal{MHz} \; .
$$
Es dominiert also die Dopplerverbreiterung, welche daf"ur sorgt, da"s die verbreiterte $D_{1}$-Linie ausreicht um 
beide Hyperfeinstrukturniveaus mit einer Energiedifferenz von maximal 213\,MHz anzuregen.
Die Feinstrukturaufspaltung betr"agt ca. 7,1\,THz, w"ahrend die Zeeman-Aufpaltung vom a"usseren Magnetfeld abh"angt, 
welches in diesem Versuch regelbar ist und eine Aufspaltung im MHz-Bereich verursacht.

\section {Versuchsaufbau}
\begin{figure} [hbtp]
\centering
\subfigure[schematisch]{
\includegraphics [width=8cm]{Aufbauskizze}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[real] { \includegraphics[width = 8cm]{aufbaubild}}
\caption{Versuchsaufbau}
\end{figure}
Kern des Versuchsaufbau ist eine beheizbare Absorptionszelle, in der sich Rubidium in nat"urlicher Zusammensetzung 
befindet.
Das Licht einer Rubidium-Lampe wird anhand einer Linse fokussiert, mit Hilfe eines Polarisators und eines 
$\lambda/4$-Pl"attchens zirkular polarisiert und durch einen Interferenzfilter auf die $D_{1}$-Linie monochromatisiert, 
bevor es die Zelle durchleuchtet.
Nach verlassen der Absorptionzelle, wird das Licht mit einer Linse auf eine Photodiode geb"undelt, welche als 
Messinstrument dient.
Zur Versuchsdurchf"uhrung stehen nun verschiedene Magnetfeldspulen zur Verf"ugung, deren Magnetfelder die 
Absorptionszelle durchsetzten und deren Feldst"arken durch Potentiometerschaltungen des Spulenstroms einstellbar sind.
Der Spulenstrom ist jeweils an einem Messger"at ablesbar.
Ein Helmholtzspulenpaar erzeugt 3 Magnetfelder parallel zum Lichtstrahl (Horizontal-Felder):
\begin{itemize}
\item Hauptfeld $H_{0}$ dient vor allem zu Erzeugung der Zeeman-Aufspaltung, es ist "uber die regelbare Stromst"arke $I_{0}$
der Spulen geeicht:
\begin{equation} \label{Eich}
H_{0} \,[\textnormal{Gau"s}] = 32,5 \: \frac {\textnormal{Gau"s}}{\textnormal{A}} \cdot I_{0} [\textnormal{A}]
\end {equation}
\item Modulationsfeld $H_{~}$, oszilliert mit einer Frequenz von 50\,Hz und einer regelbaren Amplitude von bis zu 500\,mA.
Es dient zum regelm"assigen Durchfahren der Relaxationsfrequenz.
\item Korrekturfeld $H_{||}$ ist gedacht zur Aufhebung der am Versuchsort vorhandenen Magnetfelder, wie z.B. dem Erdmagnetfeld.
\end {itemize}
Zwei weitere Spulen erzeugen Magnetfelder orthogonal zur optischen Achse, genauer vertikal zur Tischplatte, auf dem der Versuch aufgebaut ist.
\begin{itemize}
\item Das Korrekturfeld $H_{\perp}$ dient wie $H_{||}$ zur Korrektur der am Versuchsort vorhandenen Magnetfelder.
\item Mit dem Hochfrequenzfeld $H_{hf}$ kann in der Absorptionszelle ein hochfrequentes Wechselfeld erzeugt werden.
\end {itemize}
Die Temperatur der Zelle ist durch ein digitales Thermometer ablesbar. 
Polarisator und $\lambda/4$-Pl"attchen sind fest eingestellt und haben ein $\sigma^{+}$-polarisiertes Licht zur Folge.
Das Signal der Photodiode wird nach dem es verst"arkt wurde von einem Oszillographen ausgelesen.

\section{Versuchsdurchf"uhrung und Versuchsauswertung}
\subsection {Signalformen}
Wird in der Absorptionszelle nun durch das $\sigma^{+}$-Licht der $Rb$-Lampe optisch gepumpt, so wird ein Gro"steil des
Lichtes absorbiert und somit seine Intensit"at stark verringert, was an der Photodiode und ihrem absinkenden Signal erkennbar ist.
Wenn nun alle Atome optisch gepumpt sind und sich im h"oherem Energiezustand befinden, kann keine Absorption mehr 
stattfinden, da kein Atom mehr anregbar ist und die Absorptionszelle wird wieder durchsichtig f"ur das Licht der $Rb$-Lampe.
Dementsprechend steigt das Signal der Photodiode wieder an bis zum vorherigen Wert und verbleibt dort, bis der
gepumpte Zustand durch Relaxation wieder abgebaut wird. \\
Im Versuchsaufbau war das eigentlich negative Signal an der x-Achse des Oszilloskop gespiegelt und somit positiv,
wie es auch im weiteren Verlauf angegeben wird.
 
\fig {Transmissionsdip} { Signalverlauf \emph{Transmissionsdip}: Amplitude gegen die Zeit aufgetragen}
 {lasgbel} {8 cm}

Um nun den oben beschriebenen Verlauf des Photodiodensignals wiederholt beobachten zu k"onnen, kann das Modulationsfeld
so eingestellt werden, da"s es regelm"a"sig ein Gesamtmagnetfeld der St"arke 0\,T herbeif"uhrt, bei dem die Zeeman-Aufspaltung 
nicht mehr gegeben ist. 
Wenn keine Zeeman-Aufpaltung mehr vorliegt gibt es n"amlich auch keinen Enegieunterschied mehr zwischen den verschiedenen
Zeeman-Aufspaltungen und die Elktronen des $^{2}S_{1/2}$, $F= 2$ und $m_{f}=+2$ Niveaus, in welches gepumpt wird, 
befinden sich nur noch im $^{2}S_{1/2}$, $F= 2$ Niveau, von welchem sie bei wieder entstehender Zeeman-Aufspaltung sich
gleichm"a"sig auf die verschiedenen $m_{F}$ Niveaus aufteilen k"onnen, und optisches Pumpen wieder m"oglich ist.

Wird die Amplitude des Modulationsfeldes so eingestellt, da"s ein verschwindendes Gesamtmagnetfeld nur im Maximal- 
oder Minimalwert des mit $50\,Hz$ sinusf"ormig oszillierenden Modulationfeldes realisiert wird, so ist das Signal in gleichen
 zeitlichen Abst"anden mit einer Frequenz von 50\,Hz auf dem Oszillographen sichtbar.
Ist das Hauptfeld derart eingestellt, da"s das Gesamtmagnetfeld verschwindet, so oszilliert das Modulationsfeld um 
diese Feldst"arke, soda"s das Signal in gleichen Abst"anden 100 mal in der Sekunde, beim \emph{Nulldurchgang} des 
Modulationsfeldes sichtbar wird.

\fig {sinus} { zur Erl"auterung der 50\,Hz- und 100\,Hz-Signale}
 {lasgbsdfel} {8 cm}

\subsection {Messung und Korrektur des Erdmagnetfeldes}
Zur Bestimmung und Korrektur des Erdmagnetfeldes stellten wir die Korrekturfelder auf $H_{\perp}= (200\pm 2)\,$mA 
(Fehler durch angegebene Ungenauigkeit des Messger"ates gegeben) und $H_{||}= 0\,$mA (Stromkreislauf unterbrochen), 
in dieser Einstellung wird laut Versuchsbeschreibung das vertikale Erdmagnetfeld in etwa kompensiert.
Das Aufsuchen des 100\,Hz-Signal mit Hilfe des Hauptfeldes und einem konstantem Modulationsfeld, 
ergab einen Hauptfelderregerstrom von (Fehler durch gesch"atzte Ableseungenauigkeit gegeben):
$$
I_{0}^{100} = (6,7 \pm0,1) \,\textnormal{mA} \; .
$$
Das horizontale Hauptfeld sollte sich nun mit dem horizontalen Erdmagnetfeld kompensieren. 
Durch die Eichung des Hauptfeldes (Gleichung \ref{Eich}) erhalten wir somit ein horizontales Erdmagnetfeld von
$$ 
H_{Erde} = (0,218 \pm 0,003)\,\textnormal{Gauss}\; ,
$$
wobei der Fehler gem"a"s Gau"sscher Fehlerfortpflanzung berechnet wurde.

Als zweite Methode zur Bestimmung des horizontalen Erdmagnetfeldes wurde $H_{0}$ auf 0 geregelt und dann die 
Amplitude des Modulationsfeld soweit erh"oht, bis ein (das obere) 50\,Hz-Signal erkennbar war.
Mit dieser Amplitude des Modulationsfeldes suchten wir noch durch Erh"ohung des Hauptfeldes das untere 50\,Hz-Signal
 (bei $H_{0}^{50\uparrow}$) und berechneten $H_{||\:Erde}$ mit folgendem Zusammenhang:
$$
H_{||\:Erde} = 32,5 [G/A] \cdot \frac{I_{0}^{50\uparrow}}{2} =
 32,5 [G/A] \cdot \frac {(12,5\pm0,1)mA} 2 = (0,203\pm 0,001)G \; ,
$$
wobei $\Delta H_{||\:Erde}$ gem"a"s Gau"sscher Fehlerfortpflanzung berechnet wurde.
\begin{figure} [hbtp]
\centering
\subfigure[Methode 1]{
\includegraphics [width=7cm]{Methode1}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[Methode 2]{ \includegraphics [width = 7 cm]{Methode2}}
\caption{Methoden zur Kompenastion von $H_{||\:Erde}$}
\end{figure}

Zum Vergleich berechnen wir $H_{Erde}$ aus dem Dipolmodell:
$$
H_{Erde}^{theo} = M \frac {\cos \Phi}{R^{3}}= 0,191 \textnormal{G}\; .
$$
Dabei betr"agt das Dipolmoment der Erde $M= 7,95\cdot 10^{25}$\,G\,cm$^{3}$, der Erdradius $R=6371$\,km und die geographische 
Breite von Bonn $\Phi = 51,7\grad$.

Die gemessenen Werte decken mit ihrem Fehlerbereich nicht den theoretischen Wert ab.
Da durch die Umgebung, z.B. das H"orsaalgeb"aude,  das Erdmagnetfeld beeinflusst werden kann, ist eine Abweichung  nicht
weiter verwunderlich.
Aus der Abweichung der beiden experimentell ermittelten Werten liegt es nahe, da"s weitere Fehlerquellen vorliegen 
(z.B. in der Einstellung eines "aquidistanten 100\,Hz Signals nach Augenma"s).

Zur Kompensation des Erdmagnetfeldes stellen wir zun"achst das 100\,Hz Signal durch das Hauptfeld ein und verbessern die
"Aquidistanz der Signale durch "andern von $I_{\perp}$, um dann bei heruntergeregelten Hauptfeld das 100\,Hz Signal
 mit Hilfe des horizontalen Korrekturfeldes wieder einzustellen, was mit $I_{\perp}\approx 296$\,mA und 
$I_{||}\approx 240\,$mA erreicht wurde.

\subsection {Auf- und Abbauzeiten}
Als n"achstes wurden die Pumpzeiten aus dem Signalverlauf durch einen exponentiellen Fit ermittelt.
Die dazu ben"otigten Werte wurden aus dem Oszilloskop mit einem Ablesefehler von $\Delta U = 0,3\,$mV abgelesen.
Der exponentielle Verlauf l"asst sich nur schwer erahnen und dementsprechend weichen auch die ermittelten Auf- und Abbauzeiten
teilweise sehr stark von den erwarteten Gr"o"senordnungen ab.
\begin{figure} [hbtp]
\centering
\subfigure[am Oszilloskop]{
\includegraphics [width=7cm]{Oszi}}
\hspace{.5cm}
\subfigure[vom Oszilloskop abgelesen]{ \includegraphics[width = 7 cm]{oszigraph}}
\caption{Signalverlauf}
\end{figure}
Hier ist der Abbau des gepumpten Zustandes im linken Signalverlauf klar zu erkennen, im Rechten ist der exponentielle 
Verlauf vom Aufbau des gepumpten Zustandes nur mit viel Phantasie auszumachen. 
Das Oszilloskop war bei dieser Aufnahme bereits auf die kleinstm"ogliche Skaleneinteilung entlang der y-Achse eingestellt.\\
Der Exponentialfit erfolgt nun im linken Signalbereich (Abbau d. gepumpten Zustandes $\to \tau_{ab}$ ) mit den um die x-Achse 
gespiegelten und in den positiven Bereich entlang der y-Achse verschobenen Werten, soda"s f"ur den Signalverlauf bei
 Auf- und Abbau des gepumpten Zustandes eine exponentielle Abnahme, mit zu bestimmenden Zeitkonstanten $\tau_{auf}$
 und $\tau_{ab}$ angenommen werden kann.
$$
f(t) = A \; e^{-\frac {t}{\tau_{auf,ab}}} 
$$
Im niedrigen Amplituden-Bereich wurde das Signal immer verschwommener und somit die abgelesenen Werte immer willk"urlicher,
 weswegen wir f"ur den Exponentialfit nur die ersten 9 der insgesamt 16 Werte verwendet haben.
\begin{figure} [hbtp]
\centering
\subfigure{
\begin{tabular}{ccc}
     $t$ [ms] &                      $U$ [mV] &      $U_{gespiegelt}$ [mV]  \\
  \hline
         0 &                     0 $\pm $       0,3 &          3 $\pm $         0,3 \\
       0,2 &                      1$\pm $        0,3  &          2 $\pm $        0,3 \\
       0,4 &                    1,5 $\pm $        0,3 &        1,5 $\pm $         0,3 \\
       0,6 &                    2,7 $\pm $         0,3 &        0,3 $\pm $         0,3 \\
       0,8 &                    3 $\pm $         0,3 &          0 $\pm $        0,3 \\
\end{tabular}  }
\hspace{.5cm}
\subfigure{ \includegraphics[width = 7 cm]{inversionsabbau}}
\caption{Abbau des gepumpten Zustandes}
\end{figure}
\begin{figure} [hbtp]
\centering
\subfigure{
\begin{tabular}{ccc}
     $t$ [ms] &                      $U$ [mV]   \\
  \hline
         0,8 &                  3 $\pm $      0,3 \\
         1 &              2,8 $\pm $       0,3 \\
       1,2 &              2,6 $\pm $        0,3 \\
       1,4 &               2,4 $\pm $        0,3 \\
       1,6 &              2,2 $\pm $        0,3 \\
       1,8 &                   2 $\pm $        0,3 \\
         2 &               1,9 $\pm $       0,3 \\
       2,2 &               1,8 $\pm $        0,3 \\
       2,4 &              1,5 $\pm $        0,3 \\
       2,6 &               1,2 $\pm $        0,3 \\
       2,8 &                  1 $\pm $        0,3 \\
         3 &               0,9 $\pm $        0,3 \\
       3,2 &                0,7 $\pm $        0,3 \\
       3,4 &                0,5 $\pm $        0,3 \\
       3,6 &               0,3 $\pm $        0,3 \\
       3,7 &                0 $\pm $        0,3 \\
\end{tabular}  }
\hspace{.5cm}
\subfigure{ \includegraphics[width = 7 cm]{abbaugraph7}}
\caption{Aufbau des gepumpten Zustandes}
\end{figure}
Der Fit ergibt f"ur die Zeitkonstanten $\tau$
$$
\tau_{auf} = (1,62\pm 2,76) \,ms \quad ; \quad \tau_{ab} = (4,724\pm21,24)\,ms
$$
Der Fehler ist gr"o"ser als der eigentliche Wert und ist somit mit gr"o"ster Vorsicht zu geniessen, was nicht 
verwunderlich ist, da aus den Kurven kaum ein exponentieller Verlauf erkennbar ist.

\subsection {Pump- und Relaxationzeit}
Pump- und Relaxationzeit ($\tau_{p}$ und $\tau_{r}$) lassen sich mit Hilfe der Ans"atze
$$
\frac{1}{\tau_{auf}} = \frac 1 {\tau_{p}} - \frac 1 {\tau_{r}} \quad ; \quad \frac 1 {\tau_{ab}} + \frac 1 {\tau_{r}}
$$
berechnen. 
Durch diesen Ansatz und Gau"sscher-Fehlerfortpflanzung ergibt sich:
$$
\tau_{p} = ( 2,4 \pm 4,3 )\,ms \quad  ;\quad   \tau_{r} = ( 4,93 \pm13,5 )\, ms
$$ 
Die Relaxationszeit ist ungef"ahr doppelt so gro"s wie die Pumpzeit, die Fehler sind in beiden F"allen gr"o"ser als 
der eigentliche Wert.
Aus dem Signalverlauf war zu erwarten, da"s die Relaxationszeit wesentlich kleiner ist als die Pumpzeit.\\
Aus diesen Unstimmigkeiten schlie"sen wir, da"s die Messungenauigkeiten im vorherigen Teil zu gro"s sind, 
als das die Ergebnisse eine Aussagekraft besitzen.

\subsection {Relaxation durch Hochfrequenz-Felder}
Relaxation kann nicht nur durch Entartung der Hyperfeinstruktur erreicht werden, sondern auch durch Einstrahlen eines
hochfrequenten Feldes, welches bei passender Frequenz magnetische Dipol"uberg"ange zwischen den durch 
Zeeman-Effekt aufgesplitetten Hyperfeinstrukturniveaus induziert (die Elektronen k"onnen also ggf. 
ihren $m_{F}$-Zustand "andern, jedoch nicht das Niveau der Hyperfeinstruktur).\\
So k"onnen sich die Niveaus in das thermische Gleichgewicht umbesetzen, was mit dem Abbau des gepumpten Zustandes einhergeht.
Die Frequenz dieses Feldes mu"s dementsprechend der Energiedifferenz zweier benachbarter $m_{F}$-Niveaus entsprechen 
(vergleiche Gleichung \ref{Energie}).
\begin {equation} \label{zeem}
h \nu = \vert g_{F} \: \mu_{B} \: H \vert
\end{equation}

\subsubsection {Ermittlung des Verh"altnisses der $g_{F}$-Faktoren beider $Rb$-Isotope} \label{gF}
Im Folgenden verwenden wir nun das Hochfrequenz-Feld, um Relaxation zu verursachen und um
 50\,Hz- und 100\,Hz Signale beobachten zu k"onnen.\\
Dazu stellen wir das Hauptfeld $H_{0}$ fest auf einen Erregerstrom von $I_{0}= (100\pm0,3)$mA ein und suchen
 f"ur mehrere Amplituden des Modulationerregerstroms zwischen 50 und 300\,mA die Frequenz von $H_{hf}$, 
welche Dipol"uberg"ange induziert.
Dabei finden wir beim durchfahren der Frequenz immer 2-mal die Signalabfolge eines 50-100-50\,Hz Signals, was 
sich durch die beiden Rubidium-Isotope $^{85}Rb$ und $^{87}Rb$ und ihren unterschiedlichen Energiedifferenzen 
der $m_{F}$-Niveaus erkl"aren l"asst.
In der Tabelle sind die Signalabfolgen schon mit der Isotopenzahl gekennzeichnet deren korrekte Zuordnung sp"ater noch 
gezeigt wird.\\
F"ur die Frequenzwerte wurde ein Fehler von 0,002\,MHz angenommen, der Fehler des Erregerstroms  betr"agt 1,5\%.\\
\begin {table}
\centering
\begin{tabular}{ccccccc}
$I_{~}$ [mA]  &       $\nu_{50\downarrow}^{85}$ [MHz] &       $\nu_{100}^{85}$ [MHz]&        
 $\nu_{50\uparrow}^{85}$ [MHz]&         $\nu_{50\downarrow}^{87}$ [MHz]&        $\nu_{100}^{87}$ [MHz] &       
  $\nu_{50\uparrow}^{87}$ [MHz] \\
\hline
        50 $\pm$       0,75 &      1,505 &      1,547 &      1,587 &       2,27 &      2,229 &      2,373 \\
        75 $\pm$      1,125 &      1,497 &      1,551 &      1,598 &      2,254 &      2,321 &      2,402 \\
       100 $\pm$        1,5 &      1,487 &      1,552 &      1,624 &      2,242 &       2,34 &      2,466 \\
       125 $\pm$      1,875 &      1,476 &      1,558 &      1,641 &      2,201 &      2,355 &      2,453 \\
       150 $\pm$      2,25 &      1,466 &       1,56 &       1,67 &        2,2 &      2,389 &      2,485 \\
       175 $\pm$      2,625 &      1,448 &      1,548 &      1,673 &       2,16 &       2,35 &      2,517 \\
       200 $\pm$          3 &       1,44 &      1,561 &       1,69 &      2,152 &       2,35 &      2,539 \\
       225 $\pm$      3,375 &      1,424 &      1,551 &      1,702 &      2,153 &       2,35 &       2,55 \\
       250 $\pm$       3,75 &      1,396 &      1,557 &      1,722 &      2,118 &       2,35 &        2,6 \\
       275 $\pm$      4,125 &      1,376 &      1,539 &      1,732 &       2,71 &      2,331 &      2,615 \\
       300 $\pm$        4,5 &      1,361 &      1,549 &      1,747 &      2,035 &      2,321 &      2,621 \\
\end{tabular}  
\end {table}
\fig {modulation1} {} {labsdael} {12 cm}
Die 50\,Hz Signale der beiden Tripletts weisen eine unterschiedliche Steigung auf, was sich mit den unterschiedlichen 
$g_{F}$-Faktoren der Isotope erkl"aren l"asst. 
Nach Gleichung \ref{zeem} betr"agt die Steigung der Graphen:
\begin{equation} \label{m}
m = \frac {g_{F} \: \mu_{B}} h \; .
\end {equation}
Da von $^{87}Rb\;g_{F}^{87}= 1/2$ und von $^{85}Rb\;g_{F}^{85}= 1/3$, kann geschlossen werden, da"s der Graph mit 
den gr"o"seren Frequenzwerten und der gro"seren Steigung dem vom $^{87}Rb$ entspricht.

Durch Bestimmung der 50\,Hz Signalgeradensteigung mit Hilfe eines Geradenfits kann nun die Steigung $m$ in Gleichung \ref{m} 
eingesetzt werden und nach dem gesuchten $g_{F}$ freigestellt werden.
Dabei ist zu ber"ucksichtigen, da"s nur der zum Hauptfeld proportionale 
Erregerstrom $I_{0}$ und nicht das Hauptfeld $H_{0}$ selber gemessen wurde.
Da der Proportionalit"atsfaktor zwischen $I_{0}$ und $H_{0}$ nicht bekannt ist, k"onnen wir aus der Steigung der Fitgeraden 
nicht auf den Wert von $g_{F}$ schliessen, sondern nur auf einen Wert proportional zu $g_{F}$.\\
Zur Bestimmung des Verh"altnisses beider Landé-Faktoren ist dies jedoch nicht von Bedeutung, k"urzt sich dabei doch 
die Proportionalit"atskonstante heraus. 
\begin {table} \label{fit}
\centering
\begin{tabular}{rrrrr}
  &         $ b$ [MHz]&                     $ m $ [MHz/mA]           \\
\hline
     $\nu_{50\uparrow}^{85}$ &      1,546 $\pm$      0,001 &   -5,8E-04 $\pm$    7,6E-06 \\
       $\nu_{100}^{85}$ &      1,554 $\pm$      0,001 &   -1,3E-05 $\pm$    7,0E-06 \\
       $\nu_{50\uparrow}^{85}$ &      1,559 $\pm$      0,001 &    6,4E-04 $\pm$    7,6E-06 \\
      $\nu_{50\downarrow}^{87}$ &      2,308$\pm$      0,002 &   -7,5E-04 $\pm$    1,0E-05 \\
       $\nu_{100}^{87}$ &      2,355 $\pm$     0,002 &   -5,0E-05 $\pm$    8,8E-06 \\
      $\nu_{50\uparrow}^{87}$ &      2,337 $\pm$     0,001 &    1,0E-03 $\pm$    7,6E-06 \\

\end{tabular}  
\caption {Werte der Geradenfits; $y = m\cdot x + b$}
\end {table}
Das bilden des arithmetischen Mittels beider Steigungen (ablesbar aus Tabelle \ref{fit}) eines Tripletts und 
dem Dividieren der Steigungen ergab:
$$ 
\frac {g_{F}^{87}}{g_{F}^{85}} = 1,426 \pm 0,112\;.
$$
Die Fehler wurden durch Gau"ssche Fehlerfortpflanzung ermittelt.\\
Der theoretische Wert betr"agt $\frac {g_{F}^{87}}{g_{F}^{85}} = \frac 3 2$ und liegt somit innerhalb der 
Fehlergrenzen des gemessenen Wertes.

\subsection {Bestimmung der Isotopenhäufigkeit von $^{87}Rb$ und $^{85}Rb$}
Zur Bestimmung der Isotopenh"aufigkeit kann man sich der Tatsache bedienen, da"s die Rubidium-Atome eher durch Sto"s
 relaxieren, wenn sie auf ein Atom gleichen Isotops treffen, als wenn sie ein Rubidium-Atom des anderen Isotops sto"sen.
Die St"arke der Relaxation von $Rb$-Gas kann an den Signalamplituden $A$ abgelesen werden, welche f"ur geringere 
Sto"srelaxation niedriger ausfallen.\\
Da ein durch st"andige Sto"srelaxation erzeugtes Signal zeitlich konstant ist und somit eine Amplitude schlecht 
ablesbar ist, wird wieder durch Einstrahlung eines hochfrequenten Wechselfeldes regelm"a"sige Relaxation verursacht, 
was  Signale von geringerer Amplitude zur Folge hat, je gr"o"ser die \emph{Untergrundamplitude} durch Sto"srelaxation ist.\\
F"ahrt man nun die Gesamtteilchendichte von 0 hoch, so kann man beobachten, da"s die Signalamplituden zuerst ansteigen, 
da immer mehr Atome f"ur das optische Pumpen zur Verf"ugung stehen, bis die Signalamplitude wieder abnimmt, da die Atome 
durch St"o"se untereinander relaxieren und so f"ur ein st"andiges Untergrundsignal sorgen.
Das Isotop mit der h"oheren H"aufigkeit wird dabei fr"uher ein niedrigeres Signal aufweisen, da mit steigender 
Gesamtteilchendichte fr"uher mehr Atome des eigenen Isotops zur wahrscheinlicheren Sto"srelaxation zur Verf"ugung 
stehen.\\
"Uberlegt man den Fall, da"s zwei Isotope in gleicher Konzentration vorliegen, so sollte die Signalamplituden bei gleicher
 Teilchendichte wieder abnehmen.
Aus Gleichung \ref{nT} konnte die Teilchendichte in Abh"angigkeit von der Temperatur $T$ beschrieben werden zu:
$$
n(T) = \frac N V = \frac{133,28\cdot 10^{-\frac{4503,74} T + 8,21}}{k_{B}\:T}
$$
Die Teilchendiche wurde durch eine ansteigende Temperatur variiert.
\begin {table}\caption {Alle Amplituden $A$ in mV}
\centering
\begin{tabular}{ccccccccc} 
 $n$ [$\mu$m$^{-3}$] &         $A_{50\downarrow}^{85}$  &       $A_{100}^{85}$ &        
 $A_{50\uparrow}^{85}$ &   $A_{gemittelt}^{87}$ &      $A_{50\downarrow}^{87}$ &        $A_{100}^{87}$  &       
  $A_{50\uparrow}^{87}$  &$A_{gemittelt}^{87}$ \\
\hline
     0,005 &        3,5 &          1 &          3 &       2,50 &        3,2 &        1,2 &        3,4 &       2,60 \\
     0,007 &        3,5 &        1,2 &        3,6 &       2,77 &        3,8 &        1,4 &        3,7 &       2,97 \\
     0,010 &        4,5 &        1,3 &        3,9 &       3,23 &        4,8 &        2,7 &        4,7 &       4,07 \\
     0,014 &          5 &        1,5 &        4,1 &       3,53 &        5,5 &        1,9 &        5,2 &       4,20 \\
     0,019 &        4,9 &        1,7 &        4,4 &       3,67 &        6,5 &          2 &          6 &       4,83 \\
     0,025 &        4,9 &        1,7 &        4,1 &       3,57 &        6,5 &        2,2 &        6,8 &       5,17 \\
     0,034 &        4,5 &        1,8 &        3,8 &       3,37 &        7,3 &          3 &        7,8 &       6,03 \\
     0,046 &        4,1 &        1,8 &        3,5 &       3,13 &        7,5 &          3 &        7,4 &       5,97 \\
     0,062 &        3,5 &        1,8 &          3 &       2,77 &        7,3 &        2,8 &        6,7 &       5,60 \\
     0,082 &          3 &        1,7 &        2,5 &       2,40 &        6,1 &        2,8 &        5,5 &       4,80 \\
     0,108 &        2,1 &        1,3 &        1,9 &       1,77 &        5,1 &        2,5 &        4,8 &       4,13 \\
     0,142 &        1,5 &        1,2 &        1,5 &       1,40 &        3,8 &          2 &        3,5 &       3,10 \\
\end{tabular}  
\end {table}
\fig {Isotop} {} {lfsdabsdael} {12 cm}

Alle drei Signalamplituden eines Tripletts wurden dabei arithmetisch zu einem Wert gemittelt.
Die Division der beiden Teilchendichte bei maximaler Signalamplitude ergibt den Quotienten der relativen 
Isotopenh"aufigkeiten:
$$
\frac {n_{max}^{85}\textnormal{$\mu$m$^{-3}$}}{n_{max}^{87}\textnormal{$\mu$m$^{-3}$}} = 
 \frac {( 0,0173 \pm 0,002 )}{( 0,037 \pm 0,002 )} = ( 0,46 \pm 0,17 )
$$
Die Werte f"ur $n_{max}$ wurden aus dem Graphen abgelesen, was aufgrund der 
relativ wenigen Messpunkte im Peak-Bereich mit einem gro"sen Ablesefehler von 0,002$\mu$m$^{-3}$ einherging.
Fordert man, da"s die relativen H"aufigkeiten $a$  beider Isotope sich zu 1 addieren, so folgt:
$$
a^{85} + a^{87} = 1 \quad \to \quad \frac {a^{85}}{a^{87}} + 1 = \frac 1 {a^{87}} = \frac {n_{max}^{85}}{n_{max}^{87}} + 1 \; ,
$$
woraus die relativen Ha"ufigkeiten berechnet werden k"onnen:
$$
^{85}Rb = ( 68,1 \pm 7,7 ) \, \% \qquad		   ^{87}Rb = ( 31,8 \pm 3,6 ) \,\%
$$
Die Fehler wurden nach Gau"s berechnet.
Die Literaturwerte lauten:
$$
^{85}Rb =  72,2 \,\%   		\qquad	 ^{87}Rb =  27,8\, \%
$$
F"ur $^{85}Rb$ liegen die Literaturwerte innerhalb der experimentellen Fehlergrenzen, f"ur $^{87}Rb$ nicht.
Die gro"se Messungenauigkeit l"asst sich durch das grobe Absch"atzen der $n_{max}$-Werte erkl"aren.

\subsection{Bestimmung der Landé-Faktoren $g_{F}$ und des Kernspins}
F"ur die absolute Bestimmung der $g_{F}$-Werte wird nun "ahnlich wie in \ref{gF} vorgegangen und die Frequenz $\nu_{hf}$ 
der Signale in Abh"angigkeit des Magnetfeldes gemessen, wobei diesmal das geeichte Hauptfeld verwendet wird und 
somit das 100\,Hz-Signal diesmal auch einen linearen Anstieg mit dem Magnetfeld aufweist.\\ 
Aus der Steigung der Fitgeraden durch die Werte des 100\,Hz-Signal wird $g_{F}$ bestimmt.
Um ein m"oglichst genauen Frequenzwert f"ur das 100\,Hz-Signal zu erhalten, wird der Wert f"ur die beiden 50\,Hz-Signale
 gemittelt und der daraus errechnete 100\,Hz-Signalwert wiederum mit der gemessenen Frequenz des 100\,Hz-Signal gemittelt.\\
Der Messfehler f"ur $\nu_{hf}$ wurde dabei f"ur alle Werte mit $\Delta\nu_{hf} = 0,005\,$MHz angesetzt und alle weiteren 
Fehler durch Gau"ssche Fehlerfortpflanzung ermittelt.
Der Fehler f"ur den Erregerstrom betrug laut Angabe auf dem Ampèremeter 1,5\% des gemessenen Stromes.
\begin {table}\caption { Alle Frequenzen $\nu$ in MHz}
\centering
\begin{tabular}{ccccccccccc}
$H_{0}$  [Gauss]   &       $\nu_{50\downarrow}^{85}$  &       $\nu_{100}^{85}$ &        
 $\nu_{50\uparrow}^{85}$ & $\bar \nu_{50}^{85}$ &$\bar \nu_{100}^{85}$ & $\nu_{50\downarrow}^{87}$ &        $\nu_{100}^{87}$  &       
  $\nu_{50\uparrow}^{87}$  & $\bar \nu_{50}^{87}$ &$\bar \nu_{100}^{87}$ \\
\hline
      0,98 $\pm$      0,01 &       0,31 &       0,49 &       0,65 &       0,48 &0,49 &0,49 &       0,73 &       0,99 &       0,74 &0,73 \\
      1,30 $\pm$       0,02 &       0,46 &       0,66 &       0,80 &       0,63 &0,65 &0,71 &       0,98 &       1,17 &       0,94 &0,96 \\
      1,63 $\pm$      0,02 &       0,61 &       0,80 &       0,95 &       0,78 &0,79 &0,95 &       1,13 &       1,38 &       1,16 &1,15 \\
      1,95 $\pm$       0,03 &       0,80 &       0,95 &       1,09 &       0,95 &0,95 &1,17 &       1,41 &       1,63 &       1,40 &1,40 \\
      2,28 $\pm$      0,03 &       0,95 &       1,08 &       1,23 &       1,09 &1,09 &1,37 &       1,62 &       1,87 &       1,62 &1,62 \\
      2,60 $\pm$       0,04 &       1,07 &       1,24 &       1,40 &       1,23 &1,24 &1,62 &       1,89 &       2,11 &       1,87 &1,88 \\
      2,93 $\pm$       0,04 &       1,23 &       1,40 &       1,57 &       1,40 &1,40 &1,87 &       2,10 &       2,34 &       2,11 &2,10 \\
      3,25 $\pm$       0,05 &       1,39 &       1,55 &       1,71 &       1,55 &1,55 &2,09 &       2,34 &       2,58 &       2,33 &2,34 \\
      3,58 $\pm$       0,05 &       1,52 &       1,68 &       1,85 &       1,69 &1,68 &2,29 &       2,53 &       2,78 &       2,53 &2,53 \\
      3,90 $\pm$       0,06 &       1,67 &       1,84 &       1,99 &       1,83 &1,83 &2,51 &       2,75 &       2,96 &       2,74 &2,74 \\
      4,23 $\pm$       0,06 &       1,84 &       2,00 &       2,14 &       1,99 &2,00 &2,76 &       2,97 &       3,04 &       2,90 &2,94 \\
      4,55 $\pm$       0,07 &       1,98 &       2,15 &       2,32 &       2,15 &2,15 &2,86 &       3,06 &       3,33 &       3,09 &3,08 \\
      4,88 $\pm$       0,07 &       2,11 &       2,29 &       2,42 &       2,27 &2,28 &3,01 &       3,29 &       3,54 &       3,27 &3,28 \\
\end{tabular}  
\end {table}
\fig {modulation2} {} {lfsdasvbsdael} {12 cm}
Die Geradenfits ergeben:
$$
^{85}Rb : \nu_{hf} =  ( 0,4605 \pm 0,0002 ) \textnormal{MHz/G} \cdot H_{0} + ( 0,0434 \pm 0,0007 )\, \textnormal{MHz}
$$ $$
 ^{87}Rb :  \nu_{hf} =  ( 0,6651 \pm 0,0002 ) \textnormal{MHz/G} \cdot H_{0} + ( 0,1117 \pm 0,0007 )\, \textnormal{MHz}
$$
Nach Gleichung \ref{zeem} betr"agt die Geradenteigung $m = \frac {g_{F}\mu_{B}}{h}$, freigestellt nach $g_{F}$ ergibt sich:
$$
g_{F}^{85} = \frac {m^{85} \: h }{\mu_{B}} = 0,329 \pm 0,001 \quad		g_{F}^{87} = 0,475 \pm 0,001 
$$
Werden beide Werte auf zul"assige ganzzahlige Vielfache von 1/2 gerundet, erh"alt man die Literaturwerte:
$$
g_{F}^{85} = 1/3		\quad 	g_{F}^{87} = 1/2
$$
Im Rahmen der Messungenauigkeiten ist dies ein zufriedenstellendes Ergebnis, auch wenn die Literaturwerte leider nicht 
innerhalb der Fehlergrenzen der experimentellen Werte liegen.
Die Fehler sind recht klein geraten, da wir nur die angegebene Ungenauigkeit des Messinstrumentes als Fehler 
angenommen haben und nicht ber"ucksichtigt wurde, da"s "uber einen gr"o"seren Frequenzbereich das Signal 
"aquidistant erschien.

Aus den ermittelten Landé-Faktoren kann nun der Kernspin $I$ beider Teilchen berechnet werden.
Mit $F = J + I $ der Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses eines Atoms, $S$ dem Gesamtspin der Elektronen und $J = L + S$ dem 
Gesamtdrehimpuls der Elektronen gilt:
$$
g_{F} = g_{J} \frac{F(F+1) + J(J+1) - I(I+1)}{2F(F+1)}
$$ $$
g_{J} = 1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}
$$
F"ur den uns interessierenden Grundzustand des Rubidium-Atoms (Alkali-Metall) gilt:
$$ S = 1/2 \quad ; \quad L = 0 \quad \to \quad J = 1/2 \quad \to \quad g_{J} = 2
$$
Stellt man vorige Gleichungen nach $I$ frei und setzt die experimentell ermittelten Landé-Faktoren $g_{F}$ ein,
so ergibt sich:
$$
I = \frac 1 {g_{f}} - \frac 1 2 \; \pm \; \frac{\Delta g_{F}}{g_{F}^{2}}
$$ $$
^{85}Rb :  I =  (2,539 \pm 0,009 )  	\qquad ^{87}Rb : I =  ( 1,604 \pm 0,004 )
$$
Mit den errechneten Landé-Faktoren von $g_{F}^{85} = 1/3$ und $g_{F}^{87} = 1/2$ berechnet sich der erwartete 
Kernspin zu:
$$
^{85}Rb :  I =  5/2	  \qquad	 ^{87}Rb : I =  3/2
$$
Auch wenn die erwarteten Werte nicht innerhalb der Fehlergrenzen liegen, ist die Messung doch sehr dicht an 
die theoretischen Werte herngekommen.
Die Ursache f"ur die kleinen Fehlerwerte sind dieselben wie bei der Bestimmung der Landé-Faktoren (s.o.), da 
die Kernspins lediglich durch Einsetzen in eine Formel aus diesen Faktoren folgten.

 

 






\end {document}